Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30511 / 20230
↖ ↑ ↗
← N 56.541316°
W 12.398071°		 ← 336.75 m → N 56.541316°
W 12.392578°		 →
↑
336.77 m
↓
↑
336.77 m
↓
N 56.538287°
W 12.398071°		 ← 336.78 m →
113 412 m²		 N 56.538287°
W 12.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465568542480469 y=0.308692932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465568542480469 × 216)
    floor (0.465568542480469 × 65536)
    floor (30511.5)     		tx = 30511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308692932128906 × 216)
    floor (0.308692932128906 × 65536)
    floor (20230.5)     		ty = 20230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30511 / 20230 ti = "16/30511/20230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30511/20230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30511 ÷ 216
    30511 ÷ 65536     		x = 0.465560913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20230 ÷ 216
    20230 ÷ 65536     		y = 0.308685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465560913085938 × 2 - 1) × π
    -0.068878173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21638716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308685302734375 × 2 - 1) × π
    0.38262939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20206569487253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21638716} λ = -0.21638716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20206569487253))-π/2
    2×atan(3.32698235974776)-π/2
    2×1.27881422182157-π/2
    2.55762844364314-1.57079632675     		φ = 0.98683212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21638716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.398071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98683212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.541316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30511 KachelY 20230 -0.21638716 0.98683212 -12.398071 56.541316
    Oben rechts KachelX + 1 30512 KachelY 20230 -0.21629129 0.98683212 -12.392578 56.541316
    Unten links KachelX 30511 KachelY + 1 20231 -0.21638716 0.98677926 -12.398071 56.538287
    Unten rechts KachelX + 1 30512 KachelY + 1 20231 -0.21629129 0.98677926 -12.392578 56.538287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98683212-0.98677926) × R
    5.28599999999324e-05 × 6371000     		dl = 336.771059999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98683212-0.98677926) × R
    5.28599999999324e-05 × 6371000     		dr = 336.771059999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21638716--0.21629129) × cos(0.98683212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55133553295269 × 6371000     		do = 336.749000693928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21638716--0.21629129) × cos(0.98677926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551379632413654 × 6371000     		du = 336.775936105348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98683212)-sin(0.98677926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55133553295269-0.551379632413654)×R²
    abs(-0.21629129--0.21638716)×4.40994609646195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40994609646195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40994609646195e-05×40589641000000     		ar = 113411.853477341m²