Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30510 / 28942
↖ ↑ ↗
← S 79.714683°
E155.192871°		 ← 218.11 m → S 79.714683°
E155.203857°		 →
↑
218.08 m
↓
↑
218.08 m
↓
S 79.716644°
E155.192871°		 ← 218.07 m →
47 561 m²		 S 79.716644°
E155.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931106567382812 y=0.883255004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931106567382812 × 215)
    floor (0.931106567382812 × 32768)
    floor (30510.5)     		tx = 30510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883255004882812 × 215)
    floor (0.883255004882812 × 32768)
    floor (28942.5)     		ty = 28942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30510 / 28942 ti = "15/30510/28942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30510/28942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30510 ÷ 215
    30510 ÷ 32768     		x = 0.93109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28942 ÷ 215
    28942 ÷ 32768     		y = 0.88323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93109130859375 × 2 - 1) × π
    0.8621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70862658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88323974609375 × 2 - 1) × π
    -0.7664794921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40796634171466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70862658} λ = 2.70862658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40796634171466))-π/2
    2×atan(0.0899981340436926)-π/2
    2×0.0897563232261391-π/2
    0.179512646452278-1.57079632675     		φ = -1.39128368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70862658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39128368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.714683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30510 KachelY 28942 2.70862658 -1.39128368 155.192871 -79.714683
    Oben rechts KachelX + 1 30511 KachelY 28942 2.70881832 -1.39128368 155.203857 -79.714683
    Unten links KachelX 30510 KachelY + 1 28943 2.70862658 -1.39131791 155.192871 -79.716644
    Unten rechts KachelX + 1 30511 KachelY + 1 28943 2.70881832 -1.39131791 155.203857 -79.716644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39128368--1.39131791) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dl = 218.079330000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39128368--1.39131791) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dr = 218.079330000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70862658-2.70881832) × cos(-1.39128368) × R
    0.000191739999999996 × 0.178550072806865 × 6371000     		do = 218.112401606081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70862658-2.70881832) × cos(-1.39131791) × R
    0.000191739999999996 × 0.178516392750075 × 6371000     		du = 218.07125887252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39128368)-sin(-1.39131791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178550072806865-0.178516392750075)×R²
    abs(2.70881832-2.70862658)×3.36800567903028e-05×R²
    0.000191739999999996×3.36800567903028e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.36800567903028e-05×40589641000000     		ar = 47561.3202213291m²