Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30510 / 28929
↖ ↑ ↗
← S 79.689151°
E155.192871°		 ← 218.65 m → S 79.689151°
E155.203857°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
S 79.691117°
E155.192871°		 ← 218.61 m →
47 803 m²		 S 79.691117°
E155.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931106567382812 y=0.882858276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931106567382812 × 215)
    floor (0.931106567382812 × 32768)
    floor (30510.5)     		tx = 30510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882858276367188 × 215)
    floor (0.882858276367188 × 32768)
    floor (28929.5)     		ty = 28929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30510 / 28929 ti = "15/30510/28929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30510/28929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30510 ÷ 215
    30510 ÷ 32768     		x = 0.93109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28929 ÷ 215
    28929 ÷ 32768     		y = 0.882843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93109130859375 × 2 - 1) × π
    0.8621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70862658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.76568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40547362293442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70862658} λ = 2.70862658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40547362293442))-π/2
    2×atan(0.0902227539233974)-π/2
    2×0.0899791339062527-π/2
    0.179958267812505-1.57079632675     		φ = -1.39083806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70862658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39083806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.689151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30510 KachelY 28929 2.70862658 -1.39083806 155.192871 -79.689151
    Oben rechts KachelX + 1 30511 KachelY 28929 2.70881832 -1.39083806 155.203857 -79.689151
    Unten links KachelX 30510 KachelY + 1 28930 2.70862658 -1.39087238 155.192871 -79.691117
    Unten rechts KachelX + 1 30511 KachelY + 1 28930 2.70881832 -1.39087238 155.203857 -79.691117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39083806--1.39087238) × R
    3.43199999999211e-05 × 6371000     		dl = 218.652719999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39083806--1.39087238) × R
    3.43199999999211e-05 × 6371000     		dr = 218.652719999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70862658-2.70881832) × cos(-1.39083806) × R
    0.000191739999999996 × 0.178988514319311 × 6371000     		do = 218.647991033405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70862658-2.70881832) × cos(-1.39087238) × R
    0.000191739999999996 × 0.178954748441977 × 6371000     		du = 218.606743463568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39083806)-sin(-1.39087238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178988514319311-0.178954748441977)×R²
    abs(2.70881832-2.70862658)×3.37658773334193e-05×R²
    0.000191739999999996×3.37658773334193e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.37658773334193e-05×40589641000000     		ar = 47803.4685194292m²