Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30510 / 20238
↖ ↑ ↗
← N 56.517079°
W 12.403565°		 ← 337 m → N 56.517079°
W 12.398071°		 →
↑
336.96 m
↓
↑
336.96 m
↓
N 56.514049°
W 12.403565°		 ← 337.03 m →
113 561 m²		 N 56.514049°
W 12.398071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465553283691406 y=0.308815002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465553283691406 × 216)
    floor (0.465553283691406 × 65536)
    floor (30510.5)     		tx = 30510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308815002441406 × 216)
    floor (0.308815002441406 × 65536)
    floor (20238.5)     		ty = 20238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30510 / 20238 ti = "16/30510/20238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30510/20238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30510 ÷ 216
    30510 ÷ 65536     		x = 0.465545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20238 ÷ 216
    20238 ÷ 65536     		y = 0.308807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.06890869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21648304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308807373046875 × 2 - 1) × π
    0.38238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20129870447861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21648304} λ = -0.21648304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20129870447861))-π/2
    2×atan(3.324431574576)-π/2
    2×1.27860271963648-π/2
    2.55720543927296-1.57079632675     		φ = 0.98640911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21648304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.403565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98640911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.517079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30510 KachelY 20238 -0.21648304 0.98640911 -12.403565 56.517079
    Oben rechts KachelX + 1 30511 KachelY 20238 -0.21638716 0.98640911 -12.398071 56.517079
    Unten links KachelX 30510 KachelY + 1 20239 -0.21648304 0.98635622 -12.403565 56.514049
    Unten rechts KachelX + 1 30511 KachelY + 1 20239 -0.21638716 0.98635622 -12.398071 56.514049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98640911-0.98635622) × R
    5.28899999999721e-05 × 6371000     		dl = 336.962189999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98640911-0.98635622) × R
    5.28899999999721e-05 × 6371000     		dr = 336.962189999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21648304--0.21638716) × cos(0.98640911) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551688393921748 × 6371000     		do = 336.999671925897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21648304--0.21638716) × cos(0.98635622) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551732506070875 × 6371000     		du = 337.026617897477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98640911)-sin(0.98635622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551688393921748-0.551732506070875)×R²
    abs(-0.21638716--0.21648304)×4.41121491278063e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41121491278063e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41121491278063e-05×40589641000000     		ar = 113560.687394951m²