Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30510 / 17066
↖ ↑ ↗
← N 64.974712°
W 12.403565°		 ← 258.40 m → N 64.974712°
W 12.398071°		 →
↑
258.41 m
↓
↑
258.41 m
↓
N 64.972388°
W 12.403565°		 ← 258.42 m →
66 776 m²		 N 64.972388°
W 12.398071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465553283691406 y=0.260414123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465553283691406 × 216)
    floor (0.465553283691406 × 65536)
    floor (30510.5)     		tx = 30510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260414123535156 × 216)
    floor (0.260414123535156 × 65536)
    floor (17066.5)     		ty = 17066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30510 / 17066 ti = "16/30510/17066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30510/17066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30510 ÷ 216
    30510 ÷ 65536     		x = 0.465545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17066 ÷ 216
    17066 ÷ 65536     		y = 0.260406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.06890869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21648304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260406494140625 × 2 - 1) × π
    0.47918701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50541039566824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21648304} λ = -0.21648304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50541039566824))-π/2
    2×atan(4.5060024947845)-π/2
    2×1.35240949265936-π/2
    2.70481898531873-1.57079632675     		φ = 1.13402266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21648304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.403565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13402266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.974712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30510 KachelY 17066 -0.21648304 1.13402266 -12.403565 64.974712
    Oben rechts KachelX + 1 30511 KachelY 17066 -0.21638716 1.13402266 -12.398071 64.974712
    Unten links KachelX 30510 KachelY + 1 17067 -0.21648304 1.13398210 -12.403565 64.972388
    Unten rechts KachelX + 1 30511 KachelY + 1 17067 -0.21638716 1.13398210 -12.398071 64.972388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13402266-1.13398210) × R
    4.05599999999673e-05 × 6371000     		dl = 258.407759999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13402266-1.13398210) × R
    4.05599999999673e-05 × 6371000     		dr = 258.407759999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21648304--0.21638716) × cos(1.13402266) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423018222948575 × 6371000     		do = 258.401307555087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21648304--0.21638716) × cos(1.13398210) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.42305497487545 × 6371000     		du = 258.423757524012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13402266)-sin(1.13398210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423018222948575-0.42305497487545)×R²
    abs(-0.21638716--0.21648304)×3.67519268750227e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.67519268750227e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.67519268750227e-05×40589641000000     		ar = 66775.803698775m²