Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3051 / 5095
↖ ↑ ↗
← S 40.145289°
W 45.922851°		 ← 3 735.29 m → S 40.145289°
W 45.878906°		 →
↑
3 734.36 m
↓
↑
3 734.36 m
↓
S 40.178873°
W 45.922851°		 ← 3 733.45 m →
13 945 491 m²		 S 40.178873°
W 45.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37249755859375 y=0.62200927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37249755859375 × 213)
    floor (0.37249755859375 × 8192)
    floor (3051.5)     		tx = 3051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62200927734375 × 213)
    floor (0.62200927734375 × 8192)
    floor (5095.5)     		ty = 5095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3051 / 5095 ti = "13/3051/5095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3051/5095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3051 ÷ 213
    3051 ÷ 8192     		x = 0.3724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5095 ÷ 213
    5095 ÷ 8192     		y = 0.6219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80150496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.766223403526978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80150496} λ = -0.80150496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766223403526978))-π/2
    2×atan(0.464764987896383)-π/2
    2×0.435064424718223-π/2
    0.870128849436445-1.57079632675     		φ = -0.70066748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80150496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.922851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70066748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.145289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3051 KachelY 5095 -0.80150496 -0.70066748 -45.922851 -40.145289
    Oben rechts KachelX + 1 3052 KachelY 5095 -0.80073797 -0.70066748 -45.878906 -40.145289
    Unten links KachelX 3051 KachelY + 1 5096 -0.80150496 -0.70125363 -45.922851 -40.178873
    Unten rechts KachelX + 1 3052 KachelY + 1 5096 -0.80073797 -0.70125363 -45.878906 -40.178873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70066748--0.70125363) × R
    0.000586149999999952 × 6371000     		dl = 3734.36164999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70066748--0.70125363) × R
    0.000586149999999952 × 6371000     		dr = 3734.36164999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80150496--0.80073797) × cos(-0.70066748) × R
    0.000766990000000023 × 0.764412014514649 × 6371000     		do = 3735.29417972133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80150496--0.80073797) × cos(-0.70125363) × R
    0.000766990000000023 × 0.764033975868385 × 6371000     		du = 3733.44689641299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70066748)-sin(-0.70125363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764412014514649-0.764033975868385)×R²
    abs(-0.80073797--0.80150496)×0.000378038646264733×R²
    0.000766990000000023×0.000378038646264733×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378038646264733×40589641000000     		ar = 13945490.523518m²