Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3051 / 5083
↖ ↑ ↗
← S 39.740986°
W 45.922851°		 ← 3 757.43 m → S 39.740986°
W 45.878906°		 →
↑
3 756.53 m
↓
↑
3 756.53 m
↓
S 39.774770°
W 45.922851°		 ← 3 755.59 m →
14 111 456 m²		 S 39.774770°
W 45.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37249755859375 y=0.62054443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37249755859375 × 213)
    floor (0.37249755859375 × 8192)
    floor (3051.5)     		tx = 3051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62054443359375 × 213)
    floor (0.62054443359375 × 8192)
    floor (5083.5)     		ty = 5083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3051 / 5083 ti = "13/3051/5083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3051/5083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3051 ÷ 213
    3051 ÷ 8192     		x = 0.3724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5083 ÷ 213
    5083 ÷ 8192     		y = 0.6204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80150496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.240966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.757019518799927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80150496} λ = -0.80150496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757019518799927))-π/2
    2×atan(0.46906237727189)-π/2
    2×0.438592633455612-π/2
    0.877185266911223-1.57079632675     		φ = -0.69361106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80150496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.922851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69361106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.740986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3051 KachelY 5083 -0.80150496 -0.69361106 -45.922851 -39.740986
    Oben rechts KachelX + 1 3052 KachelY 5083 -0.80073797 -0.69361106 -45.878906 -39.740986
    Unten links KachelX 3051 KachelY + 1 5084 -0.80150496 -0.69420069 -45.922851 -39.774770
    Unten rechts KachelX + 1 3052 KachelY + 1 5084 -0.80073797 -0.69420069 -45.878906 -39.774770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69361106--0.69420069) × R
    0.000589630000000008 × 6371000     		dl = 3756.53273000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69361106--0.69420069) × R
    0.000589630000000008 × 6371000     		dr = 3756.53273000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80150496--0.80073797) × cos(-0.69361106) × R
    0.000766990000000023 × 0.768942417611527 × 6371000     		do = 3757.43196405522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80150496--0.80073797) × cos(-0.69420069) × R
    0.000766990000000023 × 0.768565322869847 × 6371000     		du = 3755.5892931303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69361106)-sin(-0.69420069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768942417611527-0.768565322869847)×R²
    abs(-0.80073797--0.80150496)×0.000377094741680462×R²
    0.000766990000000023×0.000377094741680462×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377094741680462×40589641000000     		ar = 14111455.5357357m²