Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30508 / 16973
↖ ↑ ↗
← N 65.189946°
W 12.414551°		 ← 256.32 m → N 65.189946°
W 12.409057°		 →
↑
256.37 m
↓
↑
256.37 m
↓
N 65.187641°
W 12.414551°		 ← 256.34 m →
65 715 m²		 N 65.187641°
W 12.409057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465522766113281 y=0.258995056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465522766113281 × 216)
    floor (0.465522766113281 × 65536)
    floor (30508.5)     		tx = 30508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258995056152344 × 216)
    floor (0.258995056152344 × 65536)
    floor (16973.5)     		ty = 16973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30508 / 16973 ti = "16/30508/16973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30508/16973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30508 ÷ 216
    30508 ÷ 65536     		x = 0.46551513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16973 ÷ 216
    16973 ÷ 65536     		y = 0.258987426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.0689697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21667479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258987426757812 × 2 - 1) × π
    0.482025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51432665899757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21667479} λ = -0.21667479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51432665899757))-π/2
    2×atan(4.54635884615891)-π/2
    2×1.35428776146982-π/2
    2.70857552293964-1.57079632675     		φ = 1.13777920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21667479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13777920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.189946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30508 KachelY 16973 -0.21667479 1.13777920 -12.414551 65.189946
    Oben rechts KachelX + 1 30509 KachelY 16973 -0.21657891 1.13777920 -12.409057 65.189946
    Unten links KachelX 30508 KachelY + 1 16974 -0.21667479 1.13773896 -12.414551 65.187641
    Unten rechts KachelX + 1 30509 KachelY + 1 16974 -0.21657891 1.13773896 -12.409057 65.187641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13777920-1.13773896) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dl = 256.36903999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13777920-1.13773896) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dr = 256.36903999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21667479--0.21657891) × cos(1.13777920) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.419611365790105 × 6371000     		do = 256.320223817688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21667479--0.21657891) × cos(1.13773896) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.419647891453786 × 6371000     		du = 256.342535573405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13777920)-sin(1.13773896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419611365790105-0.419647891453786)×R²
    abs(-0.21657891--0.21667479)×3.65256636810085e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.65256636810085e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.65256636810085e-05×40589641000000     		ar = 65715.4297433238m²