Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30507 / 20275
↖ ↑ ↗
← N 56.404784°
W 12.420044°		 ← 337.96 m → N 56.404784°
W 12.414551°		 →
↑
337.98 m
↓
↑
337.98 m
↓
N 56.401744°
W 12.420044°		 ← 337.99 m →
114 230 m²		 N 56.401744°
W 12.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465507507324219 y=0.309379577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465507507324219 × 216)
    floor (0.465507507324219 × 65536)
    floor (30507.5)     		tx = 30507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309379577636719 × 216)
    floor (0.309379577636719 × 65536)
    floor (20275.5)     		ty = 20275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30507 / 20275 ti = "16/30507/20275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30507/20275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30507 ÷ 216
    30507 ÷ 65536     		x = 0.465499877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20275 ÷ 216
    20275 ÷ 65536     		y = 0.309371948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465499877929688 × 2 - 1) × π
    -0.069000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21677066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309371948242188 × 2 - 1) × π
    0.381256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19775137390672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21677066} λ = -0.21677066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19775137390672))-π/2
    2×atan(3.31265960868904)-π/2
    2×1.27762276074929-π/2
    2.55524552149858-1.57079632675     		φ = 0.98444919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21677066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.420044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98444919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.404784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30507 KachelY 20275 -0.21677066 0.98444919 -12.420044 56.404784
    Oben rechts KachelX + 1 30508 KachelY 20275 -0.21667479 0.98444919 -12.414551 56.404784
    Unten links KachelX 30507 KachelY + 1 20276 -0.21677066 0.98439614 -12.420044 56.401744
    Unten rechts KachelX + 1 30508 KachelY + 1 20276 -0.21667479 0.98439614 -12.414551 56.401744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98444919-0.98439614) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dl = 337.981549999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98444919-0.98439614) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dr = 337.981549999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21677066--0.21667479) × cos(0.98444919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553322005158329 × 6371000     		do = 337.962313622577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21677066--0.21667479) × cos(0.98439614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553366193302472 × 6371000     		du = 337.989303200599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98444919)-sin(0.98439614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553322005158329-0.553366193302472)×R²
    abs(-0.21667479--0.21677066)×4.418814414342e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.418814414342e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.418814414342e-05×40589641000000     		ar = 114229.587616371m²