Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30507 / 17169
↖ ↑ ↗
← N 64.734297°
W 12.420044°		 ← 260.69 m → N 64.734297°
W 12.414551°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
N 64.731952°
W 12.420044°		 ← 260.72 m →
67 966 m²		 N 64.731952°
W 12.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465507507324219 y=0.261985778808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465507507324219 × 216)
    floor (0.465507507324219 × 65536)
    floor (30507.5)     		tx = 30507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261985778808594 × 216)
    floor (0.261985778808594 × 65536)
    floor (17169.5)     		ty = 17169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30507 / 17169 ti = "16/30507/17169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30507/17169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30507 ÷ 216
    30507 ÷ 65536     		x = 0.465499877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17169 ÷ 216
    17169 ÷ 65536     		y = 0.261978149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465499877929688 × 2 - 1) × π
    -0.069000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21677066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261978149414062 × 2 - 1) × π
    0.476043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49553539434651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21677066} λ = -0.21677066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49553539434651))-π/2
    2×atan(4.46172469566945)-π/2
    2×1.35031147352821-π/2
    2.70062294705642-1.57079632675     		φ = 1.12982662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21677066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.420044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12982662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.734297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30507 KachelY 17169 -0.21677066 1.12982662 -12.420044 64.734297
    Oben rechts KachelX + 1 30508 KachelY 17169 -0.21667479 1.12982662 -12.414551 64.734297
    Unten links KachelX 30507 KachelY + 1 17170 -0.21677066 1.12978570 -12.420044 64.731952
    Unten rechts KachelX + 1 30508 KachelY + 1 17170 -0.21667479 1.12978570 -12.414551 64.731952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12982662-1.12978570) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12982662-1.12978570) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21677066--0.21667479) × cos(1.12982662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426816608501936 × 6371000     		do = 260.694364505855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21677066--0.21667479) × cos(1.12978570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426853613663791 × 6371000     		du = 260.716966806143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12982662)-sin(1.12978570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426816608501936-0.426853613663791)×R²
    abs(-0.21667479--0.21677066)×3.70051618546197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70051618546197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70051618546197e-05×40589641000000     		ar = 67966.3111772421m²