Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30506 / 28926
↖ ↑ ↗
← S 79.683250°
E155.148926°		 ← 218.77 m → S 79.683250°
E155.159912°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
S 79.685217°
E155.148926°		 ← 218.73 m →
47 844 m²		 S 79.685217°
E155.159912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930984497070312 y=0.882766723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930984497070312 × 215)
    floor (0.930984497070312 × 32768)
    floor (30506.5)     		tx = 30506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882766723632812 × 215)
    floor (0.882766723632812 × 32768)
    floor (28926.5)     		ty = 28926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30506 / 28926 ti = "15/30506/28926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30506/28926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30506 ÷ 215
    30506 ÷ 32768     		x = 0.93096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28926 ÷ 215
    28926 ÷ 32768     		y = 0.88275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93096923828125 × 2 - 1) × π
    0.8619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.70785959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.7655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40489838013898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70785959} λ = 2.70785959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40489838013898))-π/2
    2×atan(0.0902746688429868)-π/2
    2×0.0900306294037628-π/2
    0.180061258807526-1.57079632675     		φ = -1.39073507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70785959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39073507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.683250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30506 KachelY 28926 2.70785959 -1.39073507 155.148926 -79.683250
    Oben rechts KachelX + 1 30507 KachelY 28926 2.70805133 -1.39073507 155.159912 -79.683250
    Unten links KachelX 30506 KachelY + 1 28927 2.70785959 -1.39076940 155.148926 -79.685217
    Unten rechts KachelX + 1 30507 KachelY + 1 28927 2.70805133 -1.39076940 155.159912 -79.685217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39073507--1.39076940) × R
    3.43299999998603e-05 × 6371000     		dl = 218.71642999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39073507--1.39076940) × R
    3.43299999998603e-05 × 6371000     		dr = 218.71642999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70785959-2.70805133) × cos(-1.39073507) × R
    0.000191739999999996 × 0.179089840201191 × 6371000     		do = 218.771768252279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70785959-2.70805133) × cos(-1.39076940) × R
    0.000191739999999996 × 0.179056065118244 × 6371000     		du = 218.73050943709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39073507)-sin(-1.39076940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179089840201191-0.179056065118244)×R²
    abs(2.70805133-2.70785959)×3.37750829468575e-05×R²
    0.000191739999999996×3.37750829468575e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.37750829468575e-05×40589641000000     		ar = 47844.4681509638m²