Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30506 / 24354
↖ ↑ ↗
← N 74.186555°
W 96.212768°		 ← 83.21 m → N 74.186555°
W 96.210022°		 →
↑
83.21 m
↓
↑
83.21 m
↓
N 74.185806°
W 96.212768°		 ← 83.22 m →
6 924 m²		 N 74.185806°
W 96.210022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232746124267578 y=0.185810089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232746124267578 × 217)
    floor (0.232746124267578 × 131072)
    floor (30506.5)     		tx = 30506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185810089111328 × 217)
    floor (0.185810089111328 × 131072)
    floor (24354.5)     		ty = 24354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30506 / 24354 ti = "17/30506/24354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30506/24354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30506 ÷ 217
    30506 ÷ 131072     		x = 0.232742309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24354 ÷ 217
    24354 ÷ 131072     		y = 0.185806274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232742309570312 × 2 - 1) × π
    -0.534515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.67922959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185806274414062 × 2 - 1) × π
    0.628387451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.97413740015315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67922959} λ = -1.67922959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97413740015315))-π/2
    2×atan(7.2004059051854)-π/2
    2×1.43279798449121-π/2
    2.86559596898242-1.57079632675     		φ = 1.29479964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67922959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.212768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29479964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.186555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30506 KachelY 24354 -1.67922959 1.29479964 -96.212768 74.186555
    Oben rechts KachelX + 1 30507 KachelY 24354 -1.67918166 1.29479964 -96.210022 74.186555
    Unten links KachelX 30506 KachelY + 1 24355 -1.67922959 1.29478658 -96.212768 74.185806
    Unten rechts KachelX + 1 30507 KachelY + 1 24355 -1.67918166 1.29478658 -96.210022 74.185806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29479964-1.29478658) × R
    1.30599999998982e-05 × 6371000     		dl = 83.2052599993511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29479964-1.29478658) × R
    1.30599999998982e-05 × 6371000     		dr = 83.2052599993511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67922959--1.67918166) × cos(1.29479964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.272506038407593 × 6371000     		do = 83.2129970754514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67922959--1.67918166) × cos(1.29478658) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.272518604116538 × 6371000     		du = 83.2168341658433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29479964)-sin(1.29478658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272506038407593-0.272518604116538)×R²
    abs(-1.67918166--1.67922959)×1.25657089452558e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.25657089452558e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.25657089452558e-05×40589641000000     		ar = 6923.91869023417m²