Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30506 / 20283
↖ ↑ ↗
← N 56.380461°
W 12.425537°		 ← 338.18 m → N 56.380461°
W 12.420044°		 →
↑
338.24 m
↓
↑
338.24 m
↓
N 56.377419°
W 12.425537°		 ← 338.21 m →
114 389 m²		 N 56.377419°
W 12.420044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465492248535156 y=0.309501647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465492248535156 × 216)
    floor (0.465492248535156 × 65536)
    floor (30506.5)     		tx = 30506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309501647949219 × 216)
    floor (0.309501647949219 × 65536)
    floor (20283.5)     		ty = 20283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30506 / 20283 ti = "16/30506/20283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30506/20283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30506 ÷ 216
    30506 ÷ 65536     		x = 0.465484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20283 ÷ 216
    20283 ÷ 65536     		y = 0.309494018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.06903076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21686653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309494018554688 × 2 - 1) × π
    0.381011962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1969843835128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21686653} λ = -0.21686653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1969843835128))-π/2
    2×atan(3.31011980471798)-π/2
    2×1.2774104966276-π/2
    2.55482099325519-1.57079632675     		φ = 0.98402467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21686653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.425537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98402467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.380461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30506 KachelY 20283 -0.21686653 0.98402467 -12.425537 56.380461
    Oben rechts KachelX + 1 30507 KachelY 20283 -0.21677066 0.98402467 -12.420044 56.380461
    Unten links KachelX 30506 KachelY + 1 20284 -0.21686653 0.98397158 -12.425537 56.377419
    Unten rechts KachelX + 1 30507 KachelY + 1 20284 -0.21677066 0.98397158 -12.420044 56.377419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98402467-0.98397158) × R
    5.30900000000889e-05 × 6371000     		dl = 338.236390000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98402467-0.98397158) × R
    5.30900000000889e-05 × 6371000     		dr = 338.236390000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21686653--0.21677066) × cos(0.98402467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553675566626897 × 6371000     		do = 338.178264643521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21686653--0.21677066) × cos(0.98397158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553719775613438 × 6371000     		du = 338.205266951825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98402467)-sin(0.98397158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553675566626897-0.553719775613438)×R²
    abs(-0.21677066--0.21686653)×4.42089865414497e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42089865414497e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42089865414497e-05×40589641000000     		ar = 114388.762017991m²