Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30505 / 20271
↖ ↑ ↗
← N 56.416940°
W 12.431030°		 ← 337.89 m → N 56.416940°
W 12.425537°		 →
↑
337.92 m
↓
↑
337.92 m
↓
N 56.413901°
W 12.431030°		 ← 337.92 m →
114 183 m²		 N 56.413901°
W 12.425537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465476989746094 y=0.309318542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465476989746094 × 216)
    floor (0.465476989746094 × 65536)
    floor (30505.5)     		tx = 30505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309318542480469 × 216)
    floor (0.309318542480469 × 65536)
    floor (20271.5)     		ty = 20271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30505 / 20271 ti = "16/30505/20271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30505/20271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30505 ÷ 216
    30505 ÷ 65536     		x = 0.465469360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20271 ÷ 216
    20271 ÷ 65536     		y = 0.309310913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465469360351562 × 2 - 1) × π
    -0.069061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21696241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309310913085938 × 2 - 1) × π
    0.381378173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19813486910368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21696241} λ = -0.21696241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19813486910368))-π/2
    2×atan(3.31393024136333)-π/2
    2×1.27772884196928-π/2
    2.55545768393856-1.57079632675     		φ = 0.98466136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21696241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.431030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98466136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.416940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30505 KachelY 20271 -0.21696241 0.98466136 -12.431030 56.416940
    Oben rechts KachelX + 1 30506 KachelY 20271 -0.21686653 0.98466136 -12.425537 56.416940
    Unten links KachelX 30505 KachelY + 1 20272 -0.21696241 0.98460832 -12.431030 56.413901
    Unten rechts KachelX + 1 30506 KachelY + 1 20272 -0.21686653 0.98460832 -12.425537 56.413901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98466136-0.98460832) × R
    5.30400000000597e-05 × 6371000     		dl = 337.91784000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98466136-0.98460832) × R
    5.30400000000597e-05 × 6371000     		dr = 337.91784000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21696241--0.21686653) × cos(0.98466136) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553145262003389 × 6371000     		do = 337.889601949732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21696241--0.21686653) × cos(0.98460832) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553189448044213 × 6371000     		du = 337.916593058165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98466136)-sin(0.98460832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553145262003389-0.553189448044213)×R²
    abs(-0.21686653--0.21696241)×4.41860408240125e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41860408240125e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41860408240125e-05×40589641000000     		ar = 114183.484864571m²