Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30500 / 41891
↖ ↑ ↗
← S 44.727223°
W 12.458496°		 ← 433.99 m → S 44.727223°
W 12.453003°		 →
↑
433.93 m
↓
↑
433.93 m
↓
S 44.731126°
W 12.458496°		 ← 433.96 m →
188 314 m²		 S 44.731126°
W 12.453003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465400695800781 y=0.639213562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465400695800781 × 216)
    floor (0.465400695800781 × 65536)
    floor (30500.5)     		tx = 30500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639213562011719 × 216)
    floor (0.639213562011719 × 65536)
    floor (41891.5)     		ty = 41891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30500 / 41891 ti = "16/30500/41891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30500/41891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30500 ÷ 216
    30500 ÷ 65536     		x = 0.46539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41891 ÷ 216
    41891 ÷ 65536     		y = 0.639205932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.0692138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21744178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639205932617188 × 2 - 1) × π
    -0.278411865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.874656670467545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21744178} λ = -0.21744178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874656670467545))-π/2
    2×atan(0.417005165292475)-π/2
    2×0.395079509898483-π/2
    0.790159019796966-1.57079632675     		φ = -0.78063731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21744178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78063731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.727223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30500 KachelY 41891 -0.21744178 -0.78063731 -12.458496 -44.727223
    Oben rechts KachelX + 1 30501 KachelY 41891 -0.21734590 -0.78063731 -12.453003 -44.727223
    Unten links KachelX 30500 KachelY + 1 41892 -0.21744178 -0.78070542 -12.458496 -44.731126
    Unten rechts KachelX + 1 30501 KachelY + 1 41892 -0.21734590 -0.78070542 -12.453003 -44.731126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78063731--0.78070542) × R
    6.81099999999546e-05 × 6371000     		dl = 433.928809999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78063731--0.78070542) × R
    6.81099999999546e-05 × 6371000     		dr = 433.928809999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21744178--0.21734590) × cos(-0.78063731) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.710465186662217 × 6371000     		do = 433.988710761058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21744178--0.21734590) × cos(-0.78070542) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.710417253804073 × 6371000     		du = 433.95943090372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78063731)-sin(-0.78070542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710465186662217-0.710417253804073)×R²
    abs(-0.21734590--0.21744178)×4.7932858143751e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7932858143751e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7932858143751e-05×40589641000000     		ar = 188313.852199793m²