Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30500 / 28972
↖ ↑ ↗
← S 79.773365°
E155.083008°		 ← 216.89 m → S 79.773365°
E155.093994°		 →
↑
216.87 m
↓
↑
216.87 m
↓
S 79.775316°
E155.083008°		 ← 216.85 m →
47 033 m²		 S 79.775316°
E155.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930801391601562 y=0.884170532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930801391601562 × 215)
    floor (0.930801391601562 × 32768)
    floor (30500.5)     		tx = 30500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884170532226562 × 215)
    floor (0.884170532226562 × 32768)
    floor (28972.5)     		ty = 28972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30500 / 28972 ti = "15/30500/28972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30500/28972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30500 ÷ 215
    30500 ÷ 32768     		x = 0.9307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28972 ÷ 215
    28972 ÷ 32768     		y = 0.8841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9307861328125 × 2 - 1) × π
    0.861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.70670910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.768310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41371876966907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70670910} λ = 2.70670910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41371876966907))-π/2
    2×atan(0.0894819124488403)-π/2
    2×0.0892442257028248-π/2
    0.17848845140565-1.57079632675     		φ = -1.39230788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70670910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39230788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.773365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30500 KachelY 28972 2.70670910 -1.39230788 155.083008 -79.773365
    Oben rechts KachelX + 1 30501 KachelY 28972 2.70690085 -1.39230788 155.093994 -79.773365
    Unten links KachelX 30500 KachelY + 1 28973 2.70670910 -1.39234192 155.083008 -79.775316
    Unten rechts KachelX + 1 30501 KachelY + 1 28973 2.70690085 -1.39234192 155.093994 -79.775316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39230788--1.39234192) × R
    3.40400000000685e-05 × 6371000     		dl = 216.868840000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39230788--1.39234192) × R
    3.40400000000685e-05 × 6371000     		dr = 216.868840000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70670910-2.70690085) × cos(-1.39230788) × R
    0.000191749999999935 × 0.17754223738224 × 6371000     		do = 216.892565718889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70670910-2.70690085) × cos(-1.39234192) × R
    0.000191749999999935 × 0.177508738066688 × 6371000     		du = 216.851641640162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39230788)-sin(-1.39234192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17754223738224-0.177508738066688)×R²
    abs(2.70690085-2.70670910)×3.34993155518826e-05×R²
    0.000191749999999935×3.34993155518826e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.34993155518826e-05×40589641000000     		ar = 47032.8015581546m²