Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30500 / 20692
↖ ↑ ↗
← N 55.116085°
W 12.458496°		 ← 349.36 m → N 55.116085°
W 12.453003°		 →
↑
349.39 m
↓
↑
349.39 m
↓
N 55.112943°
W 12.458496°		 ← 349.38 m →
122 065 m²		 N 55.112943°
W 12.453003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465400695800781 y=0.315742492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465400695800781 × 216)
    floor (0.465400695800781 × 65536)
    floor (30500.5)     		tx = 30500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315742492675781 × 216)
    floor (0.315742492675781 × 65536)
    floor (20692.5)     		ty = 20692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30500 / 20692 ti = "16/30500/20692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30500/20692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30500 ÷ 216
    30500 ÷ 65536     		x = 0.46539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20692 ÷ 216
    20692 ÷ 65536     		y = 0.31573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.0692138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21744178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31573486328125 × 2 - 1) × π
    0.3685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1577719996236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21744178} λ = -0.21744178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1577719996236))-π/2
    2×atan(3.18283401509113)-π/2
    2×1.26637673640218-π/2
    2.53275347280437-1.57079632675     		φ = 0.96195715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21744178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96195715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.116085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30500 KachelY 20692 -0.21744178 0.96195715 -12.458496 55.116085
    Oben rechts KachelX + 1 30501 KachelY 20692 -0.21734590 0.96195715 -12.453003 55.116085
    Unten links KachelX 30500 KachelY + 1 20693 -0.21744178 0.96190231 -12.458496 55.112943
    Unten rechts KachelX + 1 30501 KachelY + 1 20693 -0.21734590 0.96190231 -12.453003 55.112943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96195715-0.96190231) × R
    5.48400000000004e-05 × 6371000     		dl = 349.385640000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96195715-0.96190231) × R
    5.48400000000004e-05 × 6371000     		dr = 349.385640000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21744178--0.21734590) × cos(0.96195715) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571915607902615 × 6371000     		do = 349.355495522385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21744178--0.21734590) × cos(0.96190231) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571960592978083 × 6371000     		du = 349.382974722313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96195715)-sin(0.96190231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571915607902615-0.571960592978083)×R²
    abs(-0.21734590--0.21744178)×4.4985075467685e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4985075467685e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4985075467685e-05×40589641000000     		ar = 122064.593840076m²