Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3050 / 5066
↖ ↑ ↗
← S 39.164141°
W 45.966797°		 ← 3 788.69 m → S 39.164141°
W 45.922851°		 →
↑
3 787.75 m
↓
↑
3 787.75 m
↓
S 39.198205°
W 45.966797°		 ← 3 786.86 m →
14 347 149 m²		 S 39.198205°
W 45.922851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37237548828125 y=0.61846923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37237548828125 × 213)
    floor (0.37237548828125 × 8192)
    floor (3050.5)     		tx = 3050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61846923828125 × 213)
    floor (0.61846923828125 × 8192)
    floor (5066.5)     		ty = 5066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3050 / 5066 ti = "13/3050/5066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3050/5066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3050 ÷ 213
    3050 ÷ 8192     		x = 0.372314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5066 ÷ 213
    5066 ÷ 8192     		y = 0.618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372314453125 × 2 - 1) × π
    -0.25537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80227195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.23681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.743980682103272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80227195} λ = -0.80227195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743980682103272))-π/2
    2×atan(0.475218451818449)-π/2
    2×0.443626558406888-π/2
    0.887253116813777-1.57079632675     		φ = -0.68354321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80227195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68354321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.164141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3050 KachelY 5066 -0.80227195 -0.68354321 -45.966797 -39.164141
    Oben rechts KachelX + 1 3051 KachelY 5066 -0.80150496 -0.68354321 -45.922851 -39.164141
    Unten links KachelX 3050 KachelY + 1 5067 -0.80227195 -0.68413774 -45.966797 -39.198205
    Unten rechts KachelX + 1 3051 KachelY + 1 5067 -0.80150496 -0.68413774 -45.922851 -39.198205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68354321--0.68413774) × R
    0.000594530000000093 × 6371000     		dl = 3787.75063000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68354321--0.68413774) × R
    0.000594530000000093 × 6371000     		dr = 3787.75063000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80227195--0.80150496) × cos(-0.68354321) × R
    0.000766989999999912 × 0.775339896732112 × 6371000     		do = 3788.69320285032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80227195--0.80150496) × cos(-0.68413774) × R
    0.000766989999999912 × 0.774964287767965 × 6371000     		du = 3786.85779216736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68354321)-sin(-0.68413774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775339896732112-0.774964287767965)×R²
    abs(-0.80150496--0.80227195)×0.000375608964147123×R²
    0.000766989999999912×0.000375608964147123×6371000²
    0.000766989999999912×0.000375608964147123×40589641000000     		ar = 14347149.4495904m²