Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30499 / 28971
↖ ↑ ↗
← S 79.771414°
E155.072021°		 ← 216.93 m → S 79.771414°
E155.083008°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
S 79.773365°
E155.072021°		 ← 216.89 m →
47 055 m²		 S 79.773365°
E155.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930770874023438 y=0.884140014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930770874023438 × 215)
    floor (0.930770874023438 × 32768)
    floor (30499.5)     		tx = 30499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884140014648438 × 215)
    floor (0.884140014648438 × 32768)
    floor (28971.5)     		ty = 28971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30499 / 28971 ti = "15/30499/28971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30499/28971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30499 ÷ 215
    30499 ÷ 32768     		x = 0.930755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28971 ÷ 215
    28971 ÷ 32768     		y = 0.884124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930755615234375 × 2 - 1) × π
    0.86151123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70651735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.76824951171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41352702207059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70651735} λ = 2.70651735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41352702207059))-π/2
    2×atan(0.089499072035762)-π/2
    2×0.0892612489581849-π/2
    0.17852249791637-1.57079632675     		φ = -1.39227383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70651735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.072021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39227383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.771414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30499 KachelY 28971 2.70651735 -1.39227383 155.072021 -79.771414
    Oben rechts KachelX + 1 30500 KachelY 28971 2.70670910 -1.39227383 155.083008 -79.771414
    Unten links KachelX 30499 KachelY + 1 28972 2.70651735 -1.39230788 155.072021 -79.773365
    Unten rechts KachelX + 1 30500 KachelY + 1 28972 2.70670910 -1.39230788 155.083008 -79.773365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39227383--1.39230788) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39227383--1.39230788) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70651735-2.70670910) × cos(-1.39227383) × R
    0.000191749999999935 × 0.177575746333142 × 6371000     		do = 216.933501568536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70651735-2.70670910) × cos(-1.39230788) × R
    0.000191749999999935 × 0.17754223738224 × 6371000     		du = 216.892565718889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39227383)-sin(-1.39230788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177575746333142-0.17754223738224)×R²
    abs(2.70670910-2.70651735)×3.35089509011788e-05×R²
    0.000191749999999935×3.35089509011788e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.35089509011788e-05×40589641000000     		ar = 47055.4975213327m²