Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30499 / 20699
↖ ↑ ↗
← N 55.094087°
W 12.463989°		 ← 349.51 m → N 55.094087°
W 12.458496°		 →
↑
349.58 m
↓
↑
349.58 m
↓
N 55.090943°
W 12.463989°		 ← 349.54 m →
122 186 m²		 N 55.090943°
W 12.458496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465385437011719 y=0.315849304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465385437011719 × 216)
    floor (0.465385437011719 × 65536)
    floor (30499.5)     		tx = 30499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315849304199219 × 216)
    floor (0.315849304199219 × 65536)
    floor (20699.5)     		ty = 20699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30499 / 20699 ti = "16/30499/20699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30499/20699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30499 ÷ 216
    30499 ÷ 65536     		x = 0.465377807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20699 ÷ 216
    20699 ÷ 65536     		y = 0.315841674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465377807617188 × 2 - 1) × π
    -0.069244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21753765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315841674804688 × 2 - 1) × π
    0.368316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15710088302892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21753765} λ = -0.21753765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15710088302892))-π/2
    2×atan(3.18069867897539)-π/2
    2×1.26618477254256-π/2
    2.53236954508511-1.57079632675     		φ = 0.96157322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21753765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.463989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96157322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.094087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30499 KachelY 20699 -0.21753765 0.96157322 -12.463989 55.094087
    Oben rechts KachelX + 1 30500 KachelY 20699 -0.21744178 0.96157322 -12.458496 55.094087
    Unten links KachelX 30499 KachelY + 1 20700 -0.21753765 0.96151835 -12.463989 55.090943
    Unten rechts KachelX + 1 30500 KachelY + 1 20700 -0.21744178 0.96151835 -12.458496 55.090943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96157322-0.96151835) × R
    5.48700000000402e-05 × 6371000     		dl = 349.576770000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96157322-0.96151835) × R
    5.48700000000402e-05 × 6371000     		dr = 349.576770000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21753765--0.21744178) × cos(0.96157322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572230508308089 × 6371000     		do = 349.511396095457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21753765--0.21744178) × cos(0.96151835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572275505940087 × 6371000     		du = 349.53888009876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96157322)-sin(0.96151835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572230508308089-0.572275505940087)×R²
    abs(-0.21744178--0.21753765)×4.49976319983891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49976319983891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49976319983891e-05×40589641000000     		ar = 122185.868840759m²