Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30499 / 16226
↖ ↑ ↗
← N 66.856765°
W 12.463989°		 ← 240.06 m → N 66.856765°
W 12.458496°		 →
↑
240.06 m
↓
↑
240.06 m
↓
N 66.854606°
W 12.463989°		 ← 240.08 m →
57 631 m²		 N 66.854606°
W 12.458496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465385437011719 y=0.247596740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465385437011719 × 216)
    floor (0.465385437011719 × 65536)
    floor (30499.5)     		tx = 30499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247596740722656 × 216)
    floor (0.247596740722656 × 65536)
    floor (16226.5)     		ty = 16226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30499 / 16226 ti = "16/30499/16226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30499/16226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30499 ÷ 216
    30499 ÷ 65536     		x = 0.465377807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16226 ÷ 216
    16226 ÷ 65536     		y = 0.247589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465377807617188 × 2 - 1) × π
    -0.069244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21753765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247589111328125 × 2 - 1) × π
    0.50482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58594438702994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21753765} λ = -0.21753765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58594438702994))-π/2
    2×atan(4.88390149453014)-π/2
    2×1.36883349913605-π/2
    2.7376669982721-1.57079632675     		φ = 1.16687067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21753765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.463989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16687067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.856765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30499 KachelY 16226 -0.21753765 1.16687067 -12.463989 66.856765
    Oben rechts KachelX + 1 30500 KachelY 16226 -0.21744178 1.16687067 -12.458496 66.856765
    Unten links KachelX 30499 KachelY + 1 16227 -0.21753765 1.16683299 -12.463989 66.854606
    Unten rechts KachelX + 1 30500 KachelY + 1 16227 -0.21744178 1.16683299 -12.458496 66.854606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16687067-1.16683299) × R
    3.76799999999289e-05 × 6371000     		dl = 240.059279999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16687067-1.16683299) × R
    3.76799999999289e-05 × 6371000     		dr = 240.059279999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21753765--0.21744178) × cos(1.16687067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393031101754713 × 6371000     		do = 240.058590181399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21753765--0.21744178) × cos(1.16683299) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393065749184404 × 6371000     		du = 240.079752407716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16687067)-sin(1.16683299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393031101754713-0.393065749184404)×R²
    abs(-0.21744178--0.21753765)×3.46474296910593e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46474296910593e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46474296910593e-05×40589641000000     		ar = 57630.8324178478m²