Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30498 / 28969
↖ ↑ ↗
← S 79.767512°
E155.061035°		 ← 217.02 m → S 79.767512°
E155.072021°		 →
↑
217 m
↓
↑
217 m
↓
S 79.769463°
E155.061035°		 ← 216.97 m →
47 087 m²		 S 79.769463°
E155.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930740356445312 y=0.884078979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930740356445312 × 215)
    floor (0.930740356445312 × 32768)
    floor (30498.5)     		tx = 30498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884078979492188 × 215)
    floor (0.884078979492188 × 32768)
    floor (28969.5)     		ty = 28969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30498 / 28969 ti = "15/30498/28969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30498/28969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30498 ÷ 215
    30498 ÷ 32768     		x = 0.93072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28969 ÷ 215
    28969 ÷ 32768     		y = 0.884063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93072509765625 × 2 - 1) × π
    0.8614501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70632560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.76812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41314352687363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70632560} λ = 2.70632560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41314352687363))-π/2
    2×atan(0.0895334010821116)-π/2
    2×0.0892953051072752-π/2
    0.17859061021455-1.57079632675     		φ = -1.39220572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70632560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39220572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.767512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30498 KachelY 28969 2.70632560 -1.39220572 155.061035 -79.767512
    Oben rechts KachelX + 1 30499 KachelY 28969 2.70651735 -1.39220572 155.072021 -79.767512
    Unten links KachelX 30498 KachelY + 1 28970 2.70632560 -1.39223978 155.061035 -79.769463
    Unten rechts KachelX + 1 30499 KachelY + 1 28970 2.70651735 -1.39223978 155.072021 -79.769463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39220572--1.39223978) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dl = 216.996259999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39220572--1.39223978) × R
    3.40599999999469e-05 × 6371000     		dr = 216.996259999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70632560-2.70651735) × cos(-1.39220572) × R
    0.000191749999999935 × 0.17764277345821 × 6371000     		do = 217.015384535334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70632560-2.70651735) × cos(-1.39223978) × R
    0.000191749999999935 × 0.177609255078161 × 6371000     		du = 216.97443716667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39220572)-sin(-1.39223978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17764277345821-0.177609255078161)×R²
    abs(2.70651735-2.70632560)×3.35183800491134e-05×R²
    0.000191749999999935×3.35183800491134e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.35183800491134e-05×40589641000000     		ar = 47087.0840982574m²