Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30498 / 20323
↖ ↑ ↗
← N 56.258608°
W 12.469482°		 ← 339.26 m → N 56.258608°
W 12.463989°		 →
↑
339.26 m
↓
↑
339.26 m
↓
N 56.255557°
W 12.469482°		 ← 339.29 m →
115 100 m²		 N 56.255557°
W 12.463989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465370178222656 y=0.310111999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465370178222656 × 216)
    floor (0.465370178222656 × 65536)
    floor (30498.5)     		tx = 30498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310111999511719 × 216)
    floor (0.310111999511719 × 65536)
    floor (20323.5)     		ty = 20323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30498 / 20323 ti = "16/30498/20323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30498/20323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30498 ÷ 216
    30498 ÷ 65536     		x = 0.465362548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20323 ÷ 216
    20323 ÷ 65536     		y = 0.310104370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.06927490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21763352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310104370117188 × 2 - 1) × π
    0.379791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1931494315432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21763352} λ = -0.21763352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1931494315432))-π/2
    2×atan(3.29744996389655)-π/2
    2×1.27634714081538-π/2
    2.55269428163075-1.57079632675     		φ = 0.98189795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21763352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.469482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98189795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.258608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30498 KachelY 20323 -0.21763352 0.98189795 -12.469482 56.258608
    Oben rechts KachelX + 1 30499 KachelY 20323 -0.21753765 0.98189795 -12.463989 56.258608
    Unten links KachelX 30498 KachelY + 1 20324 -0.21763352 0.98184470 -12.469482 56.255557
    Unten rechts KachelX + 1 30499 KachelY + 1 20324 -0.21753765 0.98184470 -12.463989 56.255557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98189795-0.98184470) × R
    5.32500000000047e-05 × 6371000     		dl = 339.25575000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98189795-0.98184470) × R
    5.32500000000047e-05 × 6371000     		dr = 339.25575000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21763352--0.21753765) × cos(0.98189795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555445301971256 × 6371000     		do = 339.259197347992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21763352--0.21753765) × cos(0.98184470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555489581384978 × 6371000     		du = 339.286242672357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98189795)-sin(0.98184470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555445301971256-0.555489581384978)×R²
    abs(-0.21753765--0.21763352)×4.42794137222036e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42794137222036e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42794137222036e-05×40589641000000     		ar = 115100.221108538m²