Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30497 / 41889
↖ ↑ ↗
← S 44.719417°
W 12.474976°		 ← 434.05 m → S 44.719417°
W 12.469482°		 →
↑
433.99 m
↓
↑
433.99 m
↓
S 44.723320°
W 12.474976°		 ← 434.02 m →
188 367 m²		 S 44.723320°
W 12.469482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465354919433594 y=0.639183044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465354919433594 × 216)
    floor (0.465354919433594 × 65536)
    floor (30497.5)     		tx = 30497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639183044433594 × 216)
    floor (0.639183044433594 × 65536)
    floor (41889.5)     		ty = 41889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30497 / 41889 ti = "16/30497/41889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30497/41889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30497 ÷ 216
    30497 ÷ 65536     		x = 0.465347290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41889 ÷ 216
    41889 ÷ 65536     		y = 0.639175415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465347290039062 × 2 - 1) × π
    -0.069305419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21772940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639175415039062 × 2 - 1) × π
    -0.278350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.874464922869064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21772940} λ = -0.21772940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874464922869064))-π/2
    2×atan(0.417085132698008)-π/2
    2×0.395147629491039-π/2
    0.790295258982078-1.57079632675     		φ = -0.78050107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21772940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.474976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78050107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.719417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30497 KachelY 41889 -0.21772940 -0.78050107 -12.474976 -44.719417
    Oben rechts KachelX + 1 30498 KachelY 41889 -0.21763352 -0.78050107 -12.469482 -44.719417
    Unten links KachelX 30497 KachelY + 1 41890 -0.21772940 -0.78056919 -12.474976 -44.723320
    Unten rechts KachelX + 1 30498 KachelY + 1 41890 -0.21763352 -0.78056919 -12.469482 -44.723320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78050107--0.78056919) × R
    6.81200000000048e-05 × 6371000     		dl = 433.992520000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78050107--0.78056919) × R
    6.81200000000048e-05 × 6371000     		dr = 433.992520000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21772940--0.21763352) × cos(-0.78050107) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.710561056563508 × 6371000     		do = 434.04727303215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21772940--0.21763352) × cos(-0.78056919) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.710513123261372 × 6371000     		du = 434.017992903598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78050107)-sin(-0.78056919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710561056563508-0.710513123261372)×R²
    abs(-0.21763352--0.21772940)×4.79333021367045e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79333021367045e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79333021367045e-05×40589641000000     		ar = 188366.916216586m²