Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30497 / 28967
↖ ↑ ↗
← S 79.763608°
E155.050049°		 ← 217.09 m → S 79.763608°
E155.061035°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
S 79.765560°
E155.050049°		 ← 217.05 m →
47 116 m²		 S 79.765560°
E155.061035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930709838867188 y=0.884017944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930709838867188 × 215)
    floor (0.930709838867188 × 32768)
    floor (30497.5)     		tx = 30497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884017944335938 × 215)
    floor (0.884017944335938 × 32768)
    floor (28967.5)     		ty = 28967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30497 / 28967 ti = "15/30497/28967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30497/28967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30497 ÷ 215
    30497 ÷ 32768     		x = 0.930694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28967 ÷ 215
    28967 ÷ 32768     		y = 0.884002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.930694580078125 × 2 - 1) × π
    0.86138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.70613386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.76800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41276003167667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70613386} λ = 2.70613386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41276003167667))-π/2
    2×atan(0.0895677432960103)-π/2
    2×0.0893293741114359-π/2
    0.178658748222872-1.57079632675     		φ = -1.39213758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70613386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.050049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39213758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.763608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30497 KachelY 28967 2.70613386 -1.39213758 155.050049 -79.763608
    Oben rechts KachelX + 1 30498 KachelY 28967 2.70632560 -1.39213758 155.061035 -79.763608
    Unten links KachelX 30497 KachelY + 1 28968 2.70613386 -1.39217165 155.050049 -79.765560
    Unten rechts KachelX + 1 30498 KachelY + 1 28968 2.70632560 -1.39217165 155.061035 -79.765560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39213758--1.39217165) × R
    3.40700000001082e-05 × 6371000     		dl = 217.059970000689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39213758--1.39217165) × R
    3.40700000001082e-05 × 6371000     		dr = 217.059970000689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70613386-2.70632560) × cos(-1.39213758) × R
    0.000191739999999996 × 0.177709829281687 × 6371000     		do = 217.08598066808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70613386-2.70632560) × cos(-1.39217165) × R
    0.000191739999999996 × 0.177676301473069 × 6371000     		du = 217.045023917162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39213758)-sin(-1.39217165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177709829281687-0.177676301473069)×R²
    abs(2.70632560-2.70613386)×3.35278086182611e-05×R²
    0.000191739999999996×3.35278086182611e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.35278086182611e-05×40589641000000     		ar = 47116.231420359m²