Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30494 / 28966
↖ ↑ ↗
← S 79.761655°
E155.017090°		 ← 217.14 m → S 79.761655°
E155.028076°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
S 79.763608°
E155.017090°		 ← 217.10 m →
47 141 m²		 S 79.763608°
E155.028076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930618286132812 y=0.883987426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930618286132812 × 215)
    floor (0.930618286132812 × 32768)
    floor (30494.5)     		tx = 30494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883987426757812 × 215)
    floor (0.883987426757812 × 32768)
    floor (28966.5)     		ty = 28966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30494 / 28966 ti = "15/30494/28966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30494/28966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30494 ÷ 215
    30494 ÷ 32768     		x = 0.93060302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28966 ÷ 215
    28966 ÷ 32768     		y = 0.88397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93060302734375 × 2 - 1) × π
    0.8612060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70555861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.7679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41256828407819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70555861} λ = 2.70555861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41256828407819))-π/2
    2×atan(0.0895849193423688)-π/2
    2×0.0893464134356346-π/2
    0.178692826871269-1.57079632675     		φ = -1.39210350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70555861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39210350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.761655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30494 KachelY 28966 2.70555861 -1.39210350 155.017090 -79.761655
    Oben rechts KachelX + 1 30495 KachelY 28966 2.70575036 -1.39210350 155.028076 -79.761655
    Unten links KachelX 30494 KachelY + 1 28967 2.70555861 -1.39213758 155.017090 -79.763608
    Unten rechts KachelX + 1 30495 KachelY + 1 28967 2.70575036 -1.39213758 155.028076 -79.763608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39210350--1.39213758) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dl = 217.123680000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39210350--1.39213758) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dr = 217.123680000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70555861-2.70575036) × cos(-1.39210350) × R
    0.000191749999999935 × 0.177743366724794 × 6371000     		do = 217.138273218079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70555861-2.70575036) × cos(-1.39213758) × R
    0.000191749999999935 × 0.177709829281687 × 6371000     		du = 217.097302561234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39210350)-sin(-1.39213758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177743366724794-0.177709829281687)×R²
    abs(2.70575036-2.70555861)×3.35374431076341e-05×R²
    0.000191749999999935×3.35374431076341e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.35374431076341e-05×40589641000000     		ar = 47141.4131049961m²