Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30494 / 20686
↖ ↑ ↗
← N 55.134930°
W 12.491455°		 ← 349.15 m → N 55.134930°
W 12.485962°		 →
↑
349.19 m
↓
↑
349.19 m
↓
N 55.131790°
W 12.491455°		 ← 349.18 m →
121 928 m²		 N 55.131790°
W 12.485962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465309143066406 y=0.315650939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465309143066406 × 216)
    floor (0.465309143066406 × 65536)
    floor (30494.5)     		tx = 30494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315650939941406 × 216)
    floor (0.315650939941406 × 65536)
    floor (20686.5)     		ty = 20686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30494 / 20686 ti = "16/30494/20686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30494/20686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30494 ÷ 216
    30494 ÷ 65536     		x = 0.465301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20686 ÷ 216
    20686 ÷ 65536     		y = 0.315643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.06939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21801702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315643310546875 × 2 - 1) × π
    0.36871337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15834724241904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21801702} λ = -0.21801702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15834724241904))-π/2
    2×atan(3.18466544413508)-π/2
    2×1.26654119276189-π/2
    2.53308238552378-1.57079632675     		φ = 0.96228606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21801702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.491455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96228606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.134930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30494 KachelY 20686 -0.21801702 0.96228606 -12.491455 55.134930
    Oben rechts KachelX + 1 30495 KachelY 20686 -0.21792115 0.96228606 -12.485962 55.134930
    Unten links KachelX 30494 KachelY + 1 20687 -0.21801702 0.96223125 -12.491455 55.131790
    Unten rechts KachelX + 1 30495 KachelY + 1 20687 -0.21792115 0.96223125 -12.485962 55.131790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96228606-0.96223125) × R
    5.48100000000717e-05 × 6371000     		dl = 349.194510000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96228606-0.96223125) × R
    5.48100000000717e-05 × 6371000     		dr = 349.194510000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21801702--0.21792115) × cos(0.96228606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571645767999751 × 6371000     		do = 349.154243866498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21801702--0.21792115) × cos(0.96223125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571690738775 × 6371000     		du = 349.181711466027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96228606)-sin(0.96223125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571645767999751-0.571690738775)×R²
    abs(-0.21792115--0.21801702)×4.49707752490092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49707752490092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49707752490092e-05×40589641000000     		ar = 121927.540899826m²