Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30492 / 20145
↖ ↑ ↗
← N 56.797871°
W 12.502442°		 ← 334.50 m → N 56.797871°
W 12.496948°		 →
↑
334.54 m
↓
↑
334.54 m
↓
N 56.794862°
W 12.502442°		 ← 334.53 m →
111 908 m²		 N 56.794862°
W 12.496948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465278625488281 y=0.307395935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465278625488281 × 216)
    floor (0.465278625488281 × 65536)
    floor (30492.5)     		tx = 30492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307395935058594 × 216)
    floor (0.307395935058594 × 65536)
    floor (20145.5)     		ty = 20145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30492 / 20145 ti = "16/30492/20145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30492/20145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30492 ÷ 216
    30492 ÷ 65536     		x = 0.46527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20145 ÷ 216
    20145 ÷ 65536     		y = 0.307388305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.0694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21820877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307388305664062 × 2 - 1) × π
    0.385223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21021496780794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21820877} λ = -0.21820877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21021496780794))-π/2
    2×atan(3.35420562128349)-π/2
    2×1.28105308675412-π/2
    2.56210617350823-1.57079632675     		φ = 0.99130985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21820877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.502442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99130985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.797871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30492 KachelY 20145 -0.21820877 0.99130985 -12.502442 56.797871
    Oben rechts KachelX + 1 30493 KachelY 20145 -0.21811289 0.99130985 -12.496948 56.797871
    Unten links KachelX 30492 KachelY + 1 20146 -0.21820877 0.99125734 -12.502442 56.794862
    Unten rechts KachelX + 1 30493 KachelY + 1 20146 -0.21811289 0.99125734 -12.496948 56.794862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99130985-0.99125734) × R
    5.25100000000611e-05 × 6371000     		dl = 334.541210000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99130985-0.99125734) × R
    5.25100000000611e-05 × 6371000     		dr = 334.541210000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21820877--0.21811289) × cos(0.99130985) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.547594321571198 × 6371000     		do = 334.498801771336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21820877--0.21811289) × cos(0.99125734) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.547638258241714 × 6371000     		du = 334.525640551547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99130985)-sin(0.99125734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547594321571198-0.547638258241714)×R²
    abs(-0.21811289--0.21820877)×4.39366705161648e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39366705161648e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39366705161648e-05×40589641000000     		ar = 111908.123252767m²