Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30492 / 16654
↖ ↑ ↗
← N 65.915107°
W 12.502442°		 ← 249.28 m → N 65.915107°
W 12.496948°		 →
↑
249.30 m
↓
↑
249.30 m
↓
N 65.912865°
W 12.502442°		 ← 249.30 m →
62 148 m²		 N 65.912865°
W 12.496948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465278625488281 y=0.254127502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465278625488281 × 216)
    floor (0.465278625488281 × 65536)
    floor (30492.5)     		tx = 30492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254127502441406 × 216)
    floor (0.254127502441406 × 65536)
    floor (16654.5)     		ty = 16654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30492 / 16654 ti = "16/30492/16654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30492/16654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30492 ÷ 216
    30492 ÷ 65536     		x = 0.46527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16654 ÷ 216
    16654 ÷ 65536     		y = 0.254119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.0694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21820877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254119873046875 × 2 - 1) × π
    0.49176025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54491040095517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21820877} λ = -0.21820877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54491040095517))-π/2
    2×atan(4.68755160805897)-π/2
    2×1.36061598660849-π/2
    2.72123197321698-1.57079632675     		φ = 1.15043565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21820877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.502442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15043565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.915107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30492 KachelY 16654 -0.21820877 1.15043565 -12.502442 65.915107
    Oben rechts KachelX + 1 30493 KachelY 16654 -0.21811289 1.15043565 -12.496948 65.915107
    Unten links KachelX 30492 KachelY + 1 16655 -0.21820877 1.15039652 -12.502442 65.912865
    Unten rechts KachelX + 1 30493 KachelY + 1 16655 -0.21811289 1.15039652 -12.496948 65.912865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15043565-1.15039652) × R
    3.91299999999983e-05 × 6371000     		dl = 249.297229999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15043565-1.15039652) × R
    3.91299999999983e-05 × 6371000     		dr = 249.297229999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21820877--0.21811289) × cos(1.15043565) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.408089756522558 × 6371000     		do = 249.282231744625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21820877--0.21811289) × cos(1.15039652) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.408125479623196 × 6371000     		du = 249.30405325352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15043565)-sin(1.15039652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408089756522558-0.408125479623196)×R²
    abs(-0.21811289--0.21820877)×3.5723100638041e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.5723100638041e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.5723100638041e-05×40589641000000     		ar = 62148.0898906261m²