Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30491 / 16656
↖ ↑ ↗
← N 65.910623°
W 12.507935°		 ← 249.30 m → N 65.910623°
W 12.502442°		 →
↑
249.30 m
↓
↑
249.30 m
↓
N 65.908381°
W 12.507935°		 ← 249.32 m →
62 152 m²		 N 65.908381°
W 12.502442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465263366699219 y=0.254158020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465263366699219 × 216)
    floor (0.465263366699219 × 65536)
    floor (30491.5)     		tx = 30491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254158020019531 × 216)
    floor (0.254158020019531 × 65536)
    floor (16656.5)     		ty = 16656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30491 / 16656 ti = "16/30491/16656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30491/16656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30491 ÷ 216
    30491 ÷ 65536     		x = 0.465255737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16656 ÷ 216
    16656 ÷ 65536     		y = 0.254150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465255737304688 × 2 - 1) × π
    -0.069488525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21830464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254150390625 × 2 - 1) × π
    0.49169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54471865335669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21830464} λ = -0.21830464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54471865335669))-π/2
    2×atan(4.6866528674638)-π/2
    2×1.36057685806812-π/2
    2.72115371613624-1.57079632675     		φ = 1.15035739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21830464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.507935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15035739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.910623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30491 KachelY 16656 -0.21830464 1.15035739 -12.507935 65.910623
    Oben rechts KachelX + 1 30492 KachelY 16656 -0.21820877 1.15035739 -12.502442 65.910623
    Unten links KachelX 30491 KachelY + 1 16657 -0.21830464 1.15031826 -12.507935 65.908381
    Unten rechts KachelX + 1 30492 KachelY + 1 16657 -0.21820877 1.15031826 -12.502442 65.908381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15035739-1.15031826) × R
    3.91299999999983e-05 × 6371000     		dl = 249.297229999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15035739-1.15031826) × R
    3.91299999999983e-05 × 6371000     		dr = 249.297229999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21830464--0.21820877) × cos(1.15035739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40816120209893 × 6371000     		do = 249.299870430519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21830464--0.21820877) × cos(1.15031826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408196923949705 × 6371000     		du = 249.321688900094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15035739)-sin(1.15031826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40816120209893-0.408196923949705)×R²
    abs(-0.21820877--0.21830464)×3.57218507751056e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57218507751056e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57218507751056e-05×40589641000000     		ar = 62152.48678771m²