Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3049 / 5086
↖ ↑ ↗
← S 39.842286°
W 46.010742°		 ← 3 751.90 m → S 39.842286°
W 45.966797°		 →
↑
3 750.99 m
↓
↑
3 750.99 m
↓
S 39.876019°
W 46.010742°		 ← 3 750.06 m →
14 069 892 m²		 S 39.876019°
W 45.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37225341796875 y=0.62091064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37225341796875 × 213)
    floor (0.37225341796875 × 8192)
    floor (3049.5)     		tx = 3049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62091064453125 × 213)
    floor (0.62091064453125 × 8192)
    floor (5086.5)     		ty = 5086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3049 / 5086 ti = "13/3049/5086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3049/5086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3049 ÷ 213
    3049 ÷ 8192     		x = 0.3721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5086 ÷ 213
    5086 ÷ 8192     		y = 0.620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.255615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80303894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.759320489981689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80303894} λ = -0.80303894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.759320489981689))-π/2
    2×atan(0.467984319025463)-π/2
    2×0.437708627114139-π/2
    0.875417254228278-1.57079632675     		φ = -0.69537907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80303894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69537907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.842286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3049 KachelY 5086 -0.80303894 -0.69537907 -46.010742 -39.842286
    Oben rechts KachelX + 1 3050 KachelY 5086 -0.80227195 -0.69537907 -45.966797 -39.842286
    Unten links KachelX 3049 KachelY + 1 5087 -0.80303894 -0.69596783 -46.010742 -39.876019
    Unten rechts KachelX + 1 3050 KachelY + 1 5087 -0.80227195 -0.69596783 -45.966797 -39.876019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69537907--0.69596783) × R
    0.000588759999999966 × 6371000     		dl = 3750.98995999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69537907--0.69596783) × R
    0.000588759999999966 × 6371000     		dr = 3750.98995999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80303894--0.80227195) × cos(-0.69537907) × R
    0.000766990000000023 × 0.76781089570694 × 6371000     		do = 3751.90278986097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80303894--0.80227195) × cos(-0.69596783) × R
    0.000766990000000023 × 0.767433557932917 × 6371000     		du = 3750.05893136014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69537907)-sin(-0.69596783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76781089570694-0.767433557932917)×R²
    abs(-0.80227195--0.80303894)×0.000377337774023268×R²
    0.000766990000000023×0.000377337774023268×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377337774023268×40589641000000     		ar = 14069891.9547303m²