Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3049 / 5081
↖ ↑ ↗
← S 39.673370°
W 46.010742°		 ← 3 761.12 m → S 39.673370°
W 45.966797°		 →
↑
3 760.16 m
↓
↑
3 760.16 m
↓
S 39.707186°
W 46.010742°		 ← 3 759.27 m →
14 138 952 m²		 S 39.707186°
W 45.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37225341796875 y=0.62030029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37225341796875 × 213)
    floor (0.37225341796875 × 8192)
    floor (3049.5)     		tx = 3049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62030029296875 × 213)
    floor (0.62030029296875 × 8192)
    floor (5081.5)     		ty = 5081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3049 / 5081 ti = "13/3049/5081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3049/5081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3049 ÷ 213
    3049 ÷ 8192     		x = 0.3721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5081 ÷ 213
    5081 ÷ 8192     		y = 0.6202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.255615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80303894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.240478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.755485538012085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80303894} λ = -0.80303894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755485538012085))-π/2
    2×atan(0.469782462103871)-π/2
    2×0.439182694055987-π/2
    0.878365388111975-1.57079632675     		φ = -0.69243094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80303894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69243094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.673370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3049 KachelY 5081 -0.80303894 -0.69243094 -46.010742 -39.673370
    Oben rechts KachelX + 1 3050 KachelY 5081 -0.80227195 -0.69243094 -45.966797 -39.673370
    Unten links KachelX 3049 KachelY + 1 5082 -0.80303894 -0.69302114 -46.010742 -39.707186
    Unten rechts KachelX + 1 3050 KachelY + 1 5082 -0.80227195 -0.69302114 -45.966797 -39.707186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69243094--0.69302114) × R
    0.000590199999999985 × 6371000     		dl = 3760.16419999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69243094--0.69302114) × R
    0.000590199999999985 × 6371000     		dr = 3760.16419999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80303894--0.80227195) × cos(-0.69243094) × R
    0.000766990000000023 × 0.769696353997196 × 6371000     		do = 3761.11606914487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80303894--0.80227195) × cos(-0.69302114) × R
    0.000766990000000023 × 0.769319430290659 × 6371000     		du = 3759.27423398204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69243094)-sin(-0.69302114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769696353997196-0.769319430290659)×R²
    abs(-0.80227195--0.80303894)×0.000376923706537302×R²
    0.000766990000000023×0.000376923706537302×6371000²
    0.000766990000000023×0.000376923706537302×40589641000000     		ar = 14138951.6043484m²