Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30489 / 20234
↖ ↑ ↗
← N 56.529199°
W 12.518921°		 ← 336.89 m → N 56.529199°
W 12.513427°		 →
↑
336.90 m
↓
↑
336.90 m
↓
N 56.526169°
W 12.518921°		 ← 336.92 m →
113 503 m²		 N 56.526169°
W 12.513427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465232849121094 y=0.308753967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465232849121094 × 216)
    floor (0.465232849121094 × 65536)
    floor (30489.5)     		tx = 30489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308753967285156 × 216)
    floor (0.308753967285156 × 65536)
    floor (20234.5)     		ty = 20234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30489 / 20234 ti = "16/30489/20234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30489/20234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30489 ÷ 216
    30489 ÷ 65536     		x = 0.465225219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20234 ÷ 216
    20234 ÷ 65536     		y = 0.308746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465225219726562 × 2 - 1) × π
    -0.069549560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21849639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308746337890625 × 2 - 1) × π
    0.38250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20168219967557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21849639} λ = -0.21849639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20168219967557))-π/2
    2×atan(3.32570672260842)-π/2
    2×1.27870848764386-π/2
    2.55741697528772-1.57079632675     		φ = 0.98662065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21849639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.518921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98662065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.529199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30489 KachelY 20234 -0.21849639 0.98662065 -12.518921 56.529199
    Oben rechts KachelX + 1 30490 KachelY 20234 -0.21840051 0.98662065 -12.513427 56.529199
    Unten links KachelX 30489 KachelY + 1 20235 -0.21849639 0.98656777 -12.518921 56.526169
    Unten rechts KachelX + 1 30490 KachelY + 1 20235 -0.21840051 0.98656777 -12.513427 56.526169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98662065-0.98656777) × R
    5.28800000000329e-05 × 6371000     		dl = 336.89848000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98662065-0.98656777) × R
    5.28800000000329e-05 × 6371000     		dr = 336.89848000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21849639--0.21840051) × cos(0.98662065) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.551511946577143 × 6371000     		do = 336.8918888044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21849639--0.21840051) × cos(0.98656777) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.551556056556636 × 6371000     		du = 336.918833450656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98662065)-sin(0.98656777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551511946577143-0.551556056556636)×R²
    abs(-0.21840051--0.21849639)×4.4109979492557e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.4109979492557e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.4109979492557e-05×40589641000000     		ar = 113502.904094172m²