Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30488 / 20664
↖ ↑ ↗
← N 55.203953°
W 12.524414°		 ← 348.55 m → N 55.203953°
W 12.518921°		 →
↑
348.56 m
↓
↑
348.56 m
↓
N 55.200818°
W 12.524414°		 ← 348.58 m →
121 495 m²		 N 55.200818°
W 12.518921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465217590332031 y=0.315315246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465217590332031 × 216)
    floor (0.465217590332031 × 65536)
    floor (30488.5)     		tx = 30488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315315246582031 × 216)
    floor (0.315315246582031 × 65536)
    floor (20664.5)     		ty = 20664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30488 / 20664 ti = "16/30488/20664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30488/20664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30488 ÷ 216
    30488 ÷ 65536     		x = 0.4652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20664 ÷ 216
    20664 ÷ 65536     		y = 0.3153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21859226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3153076171875 × 2 - 1) × π
    0.369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16045646600232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21859226} λ = -0.21859226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16045646600232))-π/2
    2×atan(3.19138970458615)-π/2
    2×1.26714353562133-π/2
    2.53428707124266-1.57079632675     		φ = 0.96349074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21859226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96349074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.203953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30488 KachelY 20664 -0.21859226 0.96349074 -12.524414 55.203953
    Oben rechts KachelX + 1 30489 KachelY 20664 -0.21849639 0.96349074 -12.518921 55.203953
    Unten links KachelX 30488 KachelY + 1 20665 -0.21859226 0.96343603 -12.524414 55.200818
    Unten rechts KachelX + 1 30489 KachelY + 1 20665 -0.21849639 0.96343603 -12.518921 55.200818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96349074-0.96343603) × R
    5.47100000000134e-05 × 6371000     		dl = 348.557410000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96349074-0.96343603) × R
    5.47100000000134e-05 × 6371000     		dr = 348.557410000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21859226--0.21849639) × cos(0.96349074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570656912861616 × 6371000     		do = 348.550263241823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21859226--0.21849639) × cos(0.96343603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570701839234894 × 6371000     		du = 348.577703721172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96349074)-sin(0.96343603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570656912861616-0.570701839234894)×R²
    abs(-0.21849639--0.21859226)×4.49263732780203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49263732780203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49263732780203e-05×40589641000000     		ar = 121494.559331663m²