Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30488 / 16457
↖ ↑ ↗
← N 66.352933°
W 12.524414°		 ← 244.99 m → N 66.352933°
W 12.518921°		 →
↑
245.03 m
↓
↑
245.03 m
↓
N 66.350729°
W 12.524414°		 ← 245.01 m →
60 032 m²		 N 66.350729°
W 12.518921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465217590332031 y=0.251121520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465217590332031 × 216)
    floor (0.465217590332031 × 65536)
    floor (30488.5)     		tx = 30488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251121520996094 × 216)
    floor (0.251121520996094 × 65536)
    floor (16457.5)     		ty = 16457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30488 / 16457 ti = "16/30488/16457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30488/16457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30488 ÷ 216
    30488 ÷ 65536     		x = 0.4652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16457 ÷ 216
    16457 ÷ 65536     		y = 0.251113891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21859226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251113891601562 × 2 - 1) × π
    0.497772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56379753940547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21859226} λ = -0.21859226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56379753940547))-π/2
    2×atan(4.77692741402523)-π/2
    2×1.3644367378373-π/2
    2.72887347567461-1.57079632675     		φ = 1.15807715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21859226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15807715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.352933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30488 KachelY 16457 -0.21859226 1.15807715 -12.524414 66.352933
    Oben rechts KachelX + 1 30489 KachelY 16457 -0.21849639 1.15807715 -12.518921 66.352933
    Unten links KachelX 30488 KachelY + 1 16458 -0.21859226 1.15803869 -12.524414 66.350729
    Unten rechts KachelX + 1 30489 KachelY + 1 16458 -0.21849639 1.15803869 -12.518921 66.350729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15807715-1.15803869) × R
    3.84600000000734e-05 × 6371000     		dl = 245.028660000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15807715-1.15803869) × R
    3.84600000000734e-05 × 6371000     		dr = 245.028660000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21859226--0.21849639) × cos(1.15807715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401101664928446 × 6371000     		do = 244.987991464927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21859226--0.21849639) × cos(1.15803869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401136895281904 × 6371000     		du = 245.009509733953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15807715)-sin(1.15803869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401101664928446-0.401136895281904)×R²
    abs(-0.21849639--0.21859226)×3.52303534583154e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52303534583154e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52303534583154e-05×40589641000000     		ar = 60031.7155685931m²