Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30488 / 16264
↖ ↑ ↗
← N 66.774586°
W 12.524414°		 ← 240.86 m → N 66.774586°
W 12.518921°		 →
↑
240.89 m
↓
↑
240.89 m
↓
N 66.772420°
W 12.524414°		 ← 240.89 m →
58 024 m²		 N 66.772420°
W 12.518921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465217590332031 y=0.248176574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465217590332031 × 216)
    floor (0.465217590332031 × 65536)
    floor (30488.5)     		tx = 30488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248176574707031 × 216)
    floor (0.248176574707031 × 65536)
    floor (16264.5)     		ty = 16264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30488 / 16264 ti = "16/30488/16264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30488/16264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30488 ÷ 216
    30488 ÷ 65536     		x = 0.4652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16264 ÷ 216
    16264 ÷ 65536     		y = 0.2481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21859226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2481689453125 × 2 - 1) × π
    0.503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58230118265881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21859226} λ = -0.21859226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58230118265881))-π/2
    2×atan(4.86614081579303)-π/2
    2×1.36811635251343-π/2
    2.73623270502686-1.57079632675     		φ = 1.16543638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21859226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16543638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.774586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30488 KachelY 16264 -0.21859226 1.16543638 -12.524414 66.774586
    Oben rechts KachelX + 1 30489 KachelY 16264 -0.21849639 1.16543638 -12.518921 66.774586
    Unten links KachelX 30488 KachelY + 1 16265 -0.21859226 1.16539857 -12.524414 66.772420
    Unten rechts KachelX + 1 30489 KachelY + 1 16265 -0.21849639 1.16539857 -12.518921 66.772420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16543638-1.16539857) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dl = 240.887510000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16543638-1.16539857) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dr = 240.887510000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21859226--0.21849639) × cos(1.16543638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394349562800809 × 6371000     		do = 240.863890063576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21859226--0.21849639) × cos(1.16539857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394384308415873 × 6371000     		du = 240.885112260318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16543638)-sin(1.16539857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394349562800809-0.394384308415873)×R²
    abs(-0.21849639--0.21859226)×3.47456150640579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47456150640579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47456150640579e-05×40589641000000     		ar = 58023.6588142154m²