Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30487 / 20326
↖ ↑ ↗
← N 56.249454°
W 12.529907°		 ← 339.38 m → N 56.249454°
W 12.524414°		 →
↑
339.38 m
↓
↑
339.38 m
↓
N 56.246402°
W 12.529907°		 ← 339.40 m →
115 183 m²		 N 56.246402°
W 12.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465202331542969 y=0.310157775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465202331542969 × 216)
    floor (0.465202331542969 × 65536)
    floor (30487.5)     		tx = 30487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310157775878906 × 216)
    floor (0.310157775878906 × 65536)
    floor (20326.5)     		ty = 20326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30487 / 20326 ti = "16/30487/20326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30487/20326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30487 ÷ 216
    30487 ÷ 65536     		x = 0.465194702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20326 ÷ 216
    20326 ÷ 65536     		y = 0.310150146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465194702148438 × 2 - 1) × π
    -0.069610595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21868814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310150146484375 × 2 - 1) × π
    0.37969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19286181014548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21868814} λ = -0.21868814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19286181014548))-π/2
    2×atan(3.29650168310848)-π/2
    2×1.27626725228605-π/2
    2.5525345045721-1.57079632675     		φ = 0.98173818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21868814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.529907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98173818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.249454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30487 KachelY 20326 -0.21868814 0.98173818 -12.529907 56.249454
    Oben rechts KachelX + 1 30488 KachelY 20326 -0.21859226 0.98173818 -12.524414 56.249454
    Unten links KachelX 30487 KachelY + 1 20327 -0.21868814 0.98168491 -12.529907 56.246402
    Unten rechts KachelX + 1 30488 KachelY + 1 20327 -0.21859226 0.98168491 -12.524414 56.246402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98173818-0.98168491) × R
    5.32699999999942e-05 × 6371000     		dl = 339.383169999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98173818-0.98168491) × R
    5.32699999999942e-05 × 6371000     		dr = 339.383169999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21868814--0.21859226) × cos(0.98173818) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.555578152116207 × 6371000     		do = 339.375736475824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21868814--0.21859226) × cos(0.98168491) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.555622443432279 × 6371000     		du = 339.402791891798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98173818)-sin(0.98168491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555578152116207-0.555622443432279)×R²
    abs(-0.21859226--0.21868814)×4.4291316072087e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4291316072087e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4291316072087e-05×40589641000000     		ar = 115183.004369798m²