Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30487 / 16657
↖ ↑ ↗
← N 65.908381°
W 12.529907°		 ← 249.35 m → N 65.908381°
W 12.524414°		 →
↑
249.36 m
↓
↑
249.36 m
↓
N 65.906139°
W 12.529907°		 ← 249.37 m →
62 180 m²		 N 65.906139°
W 12.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465202331542969 y=0.254173278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465202331542969 × 216)
    floor (0.465202331542969 × 65536)
    floor (30487.5)     		tx = 30487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254173278808594 × 216)
    floor (0.254173278808594 × 65536)
    floor (16657.5)     		ty = 16657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30487 / 16657 ti = "16/30487/16657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30487/16657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30487 ÷ 216
    30487 ÷ 65536     		x = 0.465194702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16657 ÷ 216
    16657 ÷ 65536     		y = 0.254165649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465194702148438 × 2 - 1) × π
    -0.069610595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21868814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254165649414062 × 2 - 1) × π
    0.491668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54462277955745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21868814} λ = -0.21868814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54462277955745))-π/2
    2×atan(4.68620356178634)-π/2
    2×1.36055729122925-π/2
    2.7211145824585-1.57079632675     		φ = 1.15031826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21868814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.529907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15031826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.908381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30487 KachelY 16657 -0.21868814 1.15031826 -12.529907 65.908381
    Oben rechts KachelX + 1 30488 KachelY 16657 -0.21859226 1.15031826 -12.524414 65.908381
    Unten links KachelX 30487 KachelY + 1 16658 -0.21868814 1.15027912 -12.529907 65.906139
    Unten rechts KachelX + 1 30488 KachelY + 1 16658 -0.21859226 1.15027912 -12.524414 65.906139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15031826-1.15027912) × R
    3.91399999999376e-05 × 6371000     		dl = 249.360939999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15031826-1.15027912) × R
    3.91399999999376e-05 × 6371000     		dr = 249.360939999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21868814--0.21859226) × cos(1.15031826) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.408196923949705 × 6371000     		do = 249.347695126105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21868814--0.21859226) × cos(1.15027912) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.408232654304245 × 6371000     		du = 249.369521066058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15031826)-sin(1.15027912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408196923949705-0.408232654304245)×R²
    abs(-0.21859226--0.21868814)×3.57303545407417e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.57303545407417e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.57303545407417e-05×40589641000000     		ar = 62180.2969193765m²