Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30486 / 16658
↖ ↑ ↗
← N 65.906139°
W 12.535400°		 ← 249.34 m → N 65.906139°
W 12.529907°		 →
↑
249.36 m
↓
↑
249.36 m
↓
N 65.903896°
W 12.535400°		 ← 249.37 m →
62 179 m²		 N 65.903896°
W 12.529907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465187072753906 y=0.254188537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465187072753906 × 216)
    floor (0.465187072753906 × 65536)
    floor (30486.5)     		tx = 30486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254188537597656 × 216)
    floor (0.254188537597656 × 65536)
    floor (16658.5)     		ty = 16658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30486 / 16658 ti = "16/30486/16658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30486/16658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30486 ÷ 216
    30486 ÷ 65536     		x = 0.465179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16658 ÷ 216
    16658 ÷ 65536     		y = 0.254180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.06964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21878401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254180908203125 × 2 - 1) × π
    0.49163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54452690575821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21878401} λ = -0.21878401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54452690575821))-π/2
    2×atan(4.68575429918346)-π/2
    2×1.36053772267776-π/2
    2.72107544535552-1.57079632675     		φ = 1.15027912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21878401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.535400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15027912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.906139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30486 KachelY 16658 -0.21878401 1.15027912 -12.535400 65.906139
    Oben rechts KachelX + 1 30487 KachelY 16658 -0.21868814 1.15027912 -12.529907 65.906139
    Unten links KachelX 30486 KachelY + 1 16659 -0.21878401 1.15023998 -12.535400 65.903896
    Unten rechts KachelX + 1 30487 KachelY + 1 16659 -0.21868814 1.15023998 -12.529907 65.903896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15027912-1.15023998) × R
    3.91399999999376e-05 × 6371000     		dl = 249.360939999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15027912-1.15023998) × R
    3.91399999999376e-05 × 6371000     		dr = 249.360939999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21878401--0.21868814) × cos(1.15027912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408232654304245 × 6371000     		do = 249.343512563666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21878401--0.21868814) × cos(1.15023998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408268384033398 × 6371000     		du = 249.365335845258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15027912)-sin(1.15023998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408232654304245-0.408268384033398)×R²
    abs(-0.21868814--0.21878401)×3.57297291529446e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57297291529446e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57297291529446e-05×40589641000000     		ar = 62179.253620872m²