Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30485 / 16252
↖ ↑ ↗
← N 66.800567°
W 12.540893°		 ← 240.61 m → N 66.800567°
W 12.535400°		 →
↑
240.63 m
↓
↑
240.63 m
↓
N 66.798403°
W 12.540893°		 ← 240.63 m →
57 901 m²		 N 66.798403°
W 12.535400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465171813964844 y=0.247993469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465171813964844 × 216)
    floor (0.465171813964844 × 65536)
    floor (30485.5)     		tx = 30485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247993469238281 × 216)
    floor (0.247993469238281 × 65536)
    floor (16252.5)     		ty = 16252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30485 / 16252 ti = "16/30485/16252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30485/16252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30485 ÷ 216
    30485 ÷ 65536     		x = 0.465164184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16252 ÷ 216
    16252 ÷ 65536     		y = 0.24798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465164184570312 × 2 - 1) × π
    -0.069671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21887988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24798583984375 × 2 - 1) × π
    0.5040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58345166824969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21887988} λ = -0.21887988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58345166824969))-π/2
    2×atan(4.87174246237376)-π/2
    2×1.36834307937677-π/2
    2.73668615875355-1.57079632675     		φ = 1.16588983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21887988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.540893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16588983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.800567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30485 KachelY 16252 -0.21887988 1.16588983 -12.540893 66.800567
    Oben rechts KachelX + 1 30486 KachelY 16252 -0.21878401 1.16588983 -12.535400 66.800567
    Unten links KachelX 30485 KachelY + 1 16253 -0.21887988 1.16585206 -12.540893 66.798403
    Unten rechts KachelX + 1 30486 KachelY + 1 16253 -0.21878401 1.16585206 -12.535400 66.798403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16588983-1.16585206) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dl = 240.632670000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16588983-1.16585206) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dr = 240.632670000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21887988--0.21878401) × cos(1.16588983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393932819628529 × 6371000     		do = 240.609348430716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21887988--0.21878401) × cos(1.16585206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393967535236446 × 6371000     		du = 240.63055229946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16588983)-sin(1.16585206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393932819628529-0.393967535236446)×R²
    abs(-0.21878401--0.21887988)×3.4715607917013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4715607917013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4715607917013e-05×40589641000000     		ar = 57901.0211187051m²