Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30484 / 28924
↖ ↑ ↗
← S 79.679314°
E154.907227°		 ← 218.87 m → S 79.679314°
E154.918213°		 →
↑
218.84 m
↓
↑
218.84 m
↓
S 79.681282°
E154.907227°		 ← 218.82 m →
47 893 m²		 S 79.681282°
E154.918213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930313110351562 y=0.882705688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930313110351562 × 215)
    floor (0.930313110351562 × 32768)
    floor (30484.5)     		tx = 30484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882705688476562 × 215)
    floor (0.882705688476562 × 32768)
    floor (28924.5)     		ty = 28924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30484 / 28924 ti = "15/30484/28924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30484/28924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30484 ÷ 215
    30484 ÷ 32768     		x = 0.9302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28924 ÷ 215
    28924 ÷ 32768     		y = 0.8826904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9302978515625 × 2 - 1) × π
    0.860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70364114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.765380859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70364114} λ = 2.70364114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40451488494202))-π/2
    2×atan(0.0903092953840269)-π/2
    2×0.0900649759298672-π/2
    0.180129951859734-1.57079632675     		φ = -1.39066637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70364114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39066637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.679314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30484 KachelY 28924 2.70364114 -1.39066637 154.907227 -79.679314
    Oben rechts KachelX + 1 30485 KachelY 28924 2.70383289 -1.39066637 154.918213 -79.679314
    Unten links KachelX 30484 KachelY + 1 28925 2.70364114 -1.39070072 154.907227 -79.681282
    Unten rechts KachelX + 1 30485 KachelY + 1 28925 2.70383289 -1.39070072 154.918213 -79.681282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39066637--1.39070072) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dl = 218.84384999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39066637--1.39070072) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dr = 218.84384999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70364114-2.70383289) × cos(-1.39066637) × R
    0.000191749999999935 × 0.179157429086664 × 6371000     		do = 218.865747301286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70364114-2.70383289) × cos(-1.39070072) × R
    0.000191749999999935 × 0.179123634749604 × 6371000     		du = 218.824462812705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39066637)-sin(-1.39070072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179157429086664-0.179123634749604)×R²
    abs(2.70383289-2.70364114)×3.37943370603e-05×R²
    0.000191749999999935×3.37943370603e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.37943370603e-05×40589641000000     		ar = 47892.9053487251m²