Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30484 / 20284
↖ ↑ ↗
← N 56.377419°
W 12.546387°		 ← 338.24 m → N 56.377419°
W 12.540893°		 →
↑
338.24 m
↓
↑
338.24 m
↓
N 56.374377°
W 12.546387°		 ← 338.27 m →
114 410 m²		 N 56.374377°
W 12.540893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465156555175781 y=0.309516906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465156555175781 × 216)
    floor (0.465156555175781 × 65536)
    floor (30484.5)     		tx = 30484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309516906738281 × 216)
    floor (0.309516906738281 × 65536)
    floor (20284.5)     		ty = 20284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30484 / 20284 ti = "16/30484/20284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30484/20284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30484 ÷ 216
    30484 ÷ 65536     		x = 0.46514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20284 ÷ 216
    20284 ÷ 65536     		y = 0.30950927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.0697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21897576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30950927734375 × 2 - 1) × π
    0.3809814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19688850971356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21897576} λ = -0.21897576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19688850971356))-π/2
    2×atan(3.30980246616883)-π/2
    2×1.27738395407788-π/2
    2.55476790815576-1.57079632675     		φ = 0.98397158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21897576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.546387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98397158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.377419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30484 KachelY 20284 -0.21897576 0.98397158 -12.546387 56.377419
    Oben rechts KachelX + 1 30485 KachelY 20284 -0.21887988 0.98397158 -12.540893 56.377419
    Unten links KachelX 30484 KachelY + 1 20285 -0.21897576 0.98391849 -12.546387 56.374377
    Unten rechts KachelX + 1 30485 KachelY + 1 20285 -0.21887988 0.98391849 -12.540893 56.374377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98397158-0.98391849) × R
    5.30899999999779e-05 × 6371000     		dl = 338.236389999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98397158-0.98391849) × R
    5.30899999999779e-05 × 6371000     		dr = 338.236389999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21897576--0.21887988) × cos(0.98397158) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553719775613438 × 6371000     		do = 338.240544438711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21897576--0.21887988) × cos(0.98391849) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553763983039294 × 6371000     		du = 338.267548610221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98397158)-sin(0.98391849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553719775613438-0.553763983039294)×R²
    abs(-0.21887988--0.21897576)×4.42074258555358e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42074258555358e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42074258555358e-05×40589641000000     		ar = 114409.827626298m²