Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30484 / 20228
↖ ↑ ↗
← N 56.547372°
W 12.546387°		 ← 336.73 m → N 56.547372°
W 12.540893°		 →
↑
336.77 m
↓
↑
336.77 m
↓
N 56.544344°
W 12.546387°		 ← 336.76 m →
113 406 m²		 N 56.544344°
W 12.540893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465156555175781 y=0.308662414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465156555175781 × 216)
    floor (0.465156555175781 × 65536)
    floor (30484.5)     		tx = 30484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308662414550781 × 216)
    floor (0.308662414550781 × 65536)
    floor (20228.5)     		ty = 20228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30484 / 20228 ti = "16/30484/20228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30484/20228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30484 ÷ 216
    30484 ÷ 65536     		x = 0.46514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20228 ÷ 216
    20228 ÷ 65536     		y = 0.30865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.0697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21897576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30865478515625 × 2 - 1) × π
    0.3826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20225744247101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21897576} λ = -0.21897576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20225744247101))-π/2
    2×atan(3.32762036179116)-π/2
    2×1.2788670762262-π/2
    2.55773415245241-1.57079632675     		φ = 0.98693783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21897576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.546387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98693783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.547372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30484 KachelY 20228 -0.21897576 0.98693783 -12.546387 56.547372
    Oben rechts KachelX + 1 30485 KachelY 20228 -0.21887988 0.98693783 -12.540893 56.547372
    Unten links KachelX 30484 KachelY + 1 20229 -0.21897576 0.98688497 -12.546387 56.544344
    Unten rechts KachelX + 1 30485 KachelY + 1 20229 -0.21887988 0.98688497 -12.540893 56.544344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98693783-0.98688497) × R
    5.28600000000434e-05 × 6371000     		dl = 336.771060000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98693783-0.98688497) × R
    5.28600000000434e-05 × 6371000     		dr = 336.771060000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21897576--0.21887988) × cos(0.98693783) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551247337752711 × 6371000     		do = 336.730252112278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21897576--0.21887988) × cos(0.98688497) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551291440294322 × 6371000     		du = 336.757192215092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98693783)-sin(0.98688497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551247337752711-0.551291440294322)×R²
    abs(-0.21887988--0.21897576)×4.41025416110241e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41025416110241e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41025416110241e-05×40589641000000     		ar = 113405.540288011m²