Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30483 / 42045
↖ ↑ ↗
← S 45.325117°
W 12.551880°		 ← 429.43 m → S 45.325117°
W 12.546387°		 →
↑
429.41 m
↓
↑
429.41 m
↓
S 45.328978°
W 12.551880°		 ← 429.41 m →
184 395 m²		 S 45.328978°
W 12.546387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465141296386719 y=0.641563415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465141296386719 × 216)
    floor (0.465141296386719 × 65536)
    floor (30483.5)     		tx = 30483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641563415527344 × 216)
    floor (0.641563415527344 × 65536)
    floor (42045.5)     		ty = 42045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30483 / 42045 ti = "16/30483/42045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30483/42045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30483 ÷ 216
    30483 ÷ 65536     		x = 0.465133666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42045 ÷ 216
    42045 ÷ 65536     		y = 0.641555786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465133666992188 × 2 - 1) × π
    -0.069732666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21907163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641555786132812 × 2 - 1) × π
    -0.283111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.889421235550522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21907163} λ = -0.21907163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889421235550522))-π/2
    2×atan(0.41089349449461)-π/2
    2×0.389861903768067-π/2
    0.779723807536134-1.57079632675     		φ = -0.79107252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21907163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.551880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79107252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.325117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30483 KachelY 42045 -0.21907163 -0.79107252 -12.551880 -45.325117
    Oben rechts KachelX + 1 30484 KachelY 42045 -0.21897576 -0.79107252 -12.546387 -45.325117
    Unten links KachelX 30483 KachelY + 1 42046 -0.21907163 -0.79113992 -12.551880 -45.328978
    Unten rechts KachelX + 1 30484 KachelY + 1 42046 -0.21897576 -0.79113992 -12.546387 -45.328978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79107252--0.79113992) × R
    6.74000000000508e-05 × 6371000     		dl = 429.405400000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79107252--0.79113992) × R
    6.74000000000508e-05 × 6371000     		dr = 429.405400000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21907163--0.21897576) × cos(-0.79107252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70308304289027 × 6371000     		do = 429.434523891753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21907163--0.21897576) × cos(-0.79113992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70303511263086 × 6371000     		du = 429.405248675492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79107252)-sin(-0.79113992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70308304289027-0.70303511263086)×R²
    abs(-0.21897576--0.21907163)×4.79302594099673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79302594099673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79302594099673e-05×40589641000000     		ar = 184395.2181072m²