Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30483 / 20389
↖ ↑ ↗
← N 56.056702°
W 12.551880°		 ← 341.05 m → N 56.056702°
W 12.546387°		 →
↑
341.04 m
↓
↑
341.04 m
↓
N 56.053635°
W 12.551880°		 ← 341.07 m →
116 315 m²		 N 56.053635°
W 12.546387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465141296386719 y=0.311119079589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465141296386719 × 216)
    floor (0.465141296386719 × 65536)
    floor (30483.5)     		tx = 30483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311119079589844 × 216)
    floor (0.311119079589844 × 65536)
    floor (20389.5)     		ty = 20389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30483 / 20389 ti = "16/30483/20389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30483/20389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30483 ÷ 216
    30483 ÷ 65536     		x = 0.465133666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20389 ÷ 216
    20389 ÷ 65536     		y = 0.311111450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465133666992188 × 2 - 1) × π
    -0.069732666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21907163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311111450195312 × 2 - 1) × π
    0.377777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18682176079335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21907163} λ = -0.21907163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18682176079335))-π/2
    2×atan(3.27665066117991)-π/2
    2×1.27458517548106-π/2
    2.54917035096213-1.57079632675     		φ = 0.97837402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21907163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.551880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97837402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.056702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30483 KachelY 20389 -0.21907163 0.97837402 -12.551880 56.056702
    Oben rechts KachelX + 1 30484 KachelY 20389 -0.21897576 0.97837402 -12.546387 56.056702
    Unten links KachelX 30483 KachelY + 1 20390 -0.21907163 0.97832049 -12.551880 56.053635
    Unten rechts KachelX + 1 30484 KachelY + 1 20390 -0.21897576 0.97832049 -12.546387 56.053635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97837402-0.97832049) × R
    5.35299999999683e-05 × 6371000     		dl = 341.039629999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97837402-0.97832049) × R
    5.35299999999683e-05 × 6371000     		dr = 341.039629999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21907163--0.21897576) × cos(0.97837402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558372181954674 × 6371000     		do = 341.046899846122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21907163--0.21897576) × cos(0.97832049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558416589137628 × 6371000     		du = 341.074023210371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97837402)-sin(0.97832049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558372181954674-0.558416589137628)×R²
    abs(-0.21897576--0.21907163)×4.44071829549531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44071829549531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44071829549531e-05×40589641000000     		ar = 116315.133635026m²