Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30481 / 16652
↖ ↑ ↗
← N 65.919590°
W 12.562866°		 ← 249.21 m → N 65.919590°
W 12.557373°		 →
↑
249.23 m
↓
↑
249.23 m
↓
N 65.917349°
W 12.562866°		 ← 249.23 m →
62 115 m²		 N 65.917349°
W 12.557373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465110778808594 y=0.254096984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465110778808594 × 216)
    floor (0.465110778808594 × 65536)
    floor (30481.5)     		tx = 30481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254096984863281 × 216)
    floor (0.254096984863281 × 65536)
    floor (16652.5)     		ty = 16652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30481 / 16652 ti = "16/30481/16652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30481/16652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30481 ÷ 216
    30481 ÷ 65536     		x = 0.465103149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16652 ÷ 216
    16652 ÷ 65536     		y = 0.25408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465103149414062 × 2 - 1) × π
    -0.069793701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21926338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25408935546875 × 2 - 1) × π
    0.4918212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54510214855365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21926338} λ = -0.21926338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54510214855365))-π/2
    2×atan(4.68845052100201)-π/2
    2×1.36065510829984-π/2
    2.72131021659968-1.57079632675     		φ = 1.15051389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21926338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.562866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15051389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.919590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30481 KachelY 16652 -0.21926338 1.15051389 -12.562866 65.919590
    Oben rechts KachelX + 1 30482 KachelY 16652 -0.21916751 1.15051389 -12.557373 65.919590
    Unten links KachelX 30481 KachelY + 1 16653 -0.21926338 1.15047477 -12.562866 65.917349
    Unten rechts KachelX + 1 30482 KachelY + 1 16653 -0.21916751 1.15047477 -12.557373 65.917349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15051389-1.15047477) × R
    3.91200000000591e-05 × 6371000     		dl = 249.233520000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15051389-1.15047477) × R
    3.91200000000591e-05 × 6371000     		dr = 249.233520000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21926338--0.21916751) × cos(1.15051389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408018326706263 × 6371000     		do = 249.212603888044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21926338--0.21916751) × cos(1.15047477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408054041926648 × 6371000     		du = 249.234418307858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15051389)-sin(1.15047477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408018326706263-0.408054041926648)×R²
    abs(-0.21916751--0.21926338)×3.57152203852573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57152203852573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57152203852573e-05×40589641000000     		ar = 62114.8529459735m²