Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30480 / 42101
↖ ↑ ↗
← S 45.540984°
W 12.568359°		 ← 427.80 m → S 45.540984°
W 12.562866°		 →
↑
427.81 m
↓
↑
427.81 m
↓
S 45.544832°
W 12.568359°		 ← 427.77 m →
183 010 m²		 S 45.544832°
W 12.562866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465095520019531 y=0.642417907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465095520019531 × 216)
    floor (0.465095520019531 × 65536)
    floor (30480.5)     		tx = 30480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642417907714844 × 216)
    floor (0.642417907714844 × 65536)
    floor (42101.5)     		ty = 42101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30480 / 42101 ti = "16/30480/42101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30480/42101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30480 ÷ 216
    30480 ÷ 65536     		x = 0.465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42101 ÷ 216
    42101 ÷ 65536     		y = 0.642410278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.06982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21935925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642410278320312 × 2 - 1) × π
    -0.284820556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.894790168307968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21935925} λ = -0.21935925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894790168307968))-π/2
    2×atan(0.408693346460639)-π/2
    2×0.387978103804524-π/2
    0.775956207609048-1.57079632675     		φ = -0.79484012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21935925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79484012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.540984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30480 KachelY 42101 -0.21935925 -0.79484012 -12.568359 -45.540984
    Oben rechts KachelX + 1 30481 KachelY 42101 -0.21926338 -0.79484012 -12.562866 -45.540984
    Unten links KachelX 30480 KachelY + 1 42102 -0.21935925 -0.79490727 -12.568359 -45.544832
    Unten rechts KachelX + 1 30481 KachelY + 1 42102 -0.21926338 -0.79490727 -12.562866 -45.544832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79484012--0.79490727) × R
    6.71500000000158e-05 × 6371000     		dl = 427.812650000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79484012--0.79490727) × R
    6.71500000000158e-05 × 6371000     		dr = 427.812650000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21935925--0.21926338) × cos(-0.79484012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700398889603506 × 6371000     		do = 427.795075891392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21935925--0.21926338) × cos(-0.79490727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700350959602208 × 6371000     		du = 427.765800832783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79484012)-sin(-0.79490727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700398889603506-0.700350959602208)×R²
    abs(-0.21926338--0.21935925)×4.79300012983241e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79300012983241e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79300012983241e-05×40589641000000     		ar = 183009.883022702m²