Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30480 / 24208
↖ ↑ ↗
← N 74.295463°
W 96.284180°		 ← 82.65 m → N 74.295463°
W 96.281433°		 →
↑
82.70 m
↓
↑
82.70 m
↓
N 74.294719°
W 96.284180°		 ← 82.66 m →
6 835 m²		 N 74.294719°
W 96.281433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232547760009766 y=0.184696197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232547760009766 × 217)
    floor (0.232547760009766 × 131072)
    floor (30480.5)     		tx = 30480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.184696197509766 × 217)
    floor (0.184696197509766 × 131072)
    floor (24208.5)     		ty = 24208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30480 / 24208 ti = "17/30480/24208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30480/24208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30480 ÷ 217
    30480 ÷ 131072     		x = 0.2325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24208 ÷ 217
    24208 ÷ 131072     		y = 0.1846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.68047595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1846923828125 × 2 - 1) × π
    0.630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.98113618749768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68047595} λ = -1.68047595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98113618749768))-π/2
    2×atan(7.25097677586893)-π/2
    2×1.43374838626289-π/2
    2.86749677252579-1.57079632675     		φ = 1.29670045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68047595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29670045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.295463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30480 KachelY 24208 -1.68047595 1.29670045 -96.284180 74.295463
    Oben rechts KachelX + 1 30481 KachelY 24208 -1.68042802 1.29670045 -96.281433 74.295463
    Unten links KachelX 30480 KachelY + 1 24209 -1.68047595 1.29668747 -96.284180 74.294719
    Unten rechts KachelX + 1 30481 KachelY + 1 24209 -1.68042802 1.29668747 -96.281433 74.294719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29670045-1.29668747) × R
    1.29799999999403e-05 × 6371000     		dl = 82.6955799996194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29670045-1.29668747) × R
    1.29799999999403e-05 × 6371000     		dr = 82.6955799996194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68047595--1.68042802) × cos(1.29670045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.270676675133821 × 6371000     		do = 82.6543789925646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68047595--1.68042802) × cos(1.29668747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.270689170571722 × 6371000     		du = 82.6581946248478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29670045)-sin(1.29668747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.270676675133821-0.270689170571722)×R²
    abs(-1.68042802--1.68047595)×1.24954379009945e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.24954379009945e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.24954379009945e-05×40589641000000     		ar = 6835.30957840939m²