Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30479 / 20432
↖ ↑ ↗
← N 55.924586°
W 12.573853°		 ← 342.25 m → N 55.924586°
W 12.568359°		 →
↑
342.25 m
↓
↑
342.25 m
↓
N 55.921508°
W 12.573853°		 ← 342.28 m →
117 140 m²		 N 55.921508°
W 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465080261230469 y=0.311775207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465080261230469 × 216)
    floor (0.465080261230469 × 65536)
    floor (30479.5)     		tx = 30479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311775207519531 × 216)
    floor (0.311775207519531 × 65536)
    floor (20432.5)     		ty = 20432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30479 / 20432 ti = "16/30479/20432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30479/20432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30479 ÷ 216
    30479 ÷ 65536     		x = 0.465072631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20432 ÷ 216
    20432 ÷ 65536     		y = 0.311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465072631835938 × 2 - 1) × π
    -0.069854736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21945513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311767578125 × 2 - 1) × π
    0.37646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18269918742603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21945513} λ = -0.21945513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18269918742603))-π/2
    2×atan(3.26317023454634)-π/2
    2×1.27343224094216-π/2
    2.54686448188431-1.57079632675     		φ = 0.97606816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21945513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.573853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97606816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.924586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30479 KachelY 20432 -0.21945513 0.97606816 -12.573853 55.924586
    Oben rechts KachelX + 1 30480 KachelY 20432 -0.21935925 0.97606816 -12.568359 55.924586
    Unten links KachelX 30479 KachelY + 1 20433 -0.21945513 0.97601444 -12.573853 55.921508
    Unten rechts KachelX + 1 30480 KachelY + 1 20433 -0.21935925 0.97601444 -12.568359 55.921508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97606816-0.97601444) × R
    5.37199999999238e-05 × 6371000     		dl = 342.250119999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97606816-0.97601444) × R
    5.37199999999238e-05 × 6371000     		dr = 342.250119999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21945513--0.21935925) × cos(0.97606816) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.560283615531857 × 6371000     		do = 342.25007576736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21945513--0.21935925) × cos(0.97601444) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.560328111044148 × 6371000     		du = 342.277255916896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97606816)-sin(0.97601444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560283615531857-0.560328111044148)×R²
    abs(-0.21935925--0.21945513)×4.44955122903545e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44955122903545e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44955122903545e-05×40589641000000     		ar = 117139.780734414m²