Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30479 / 20321
↖ ↑ ↗
← N 56.264710°
W 12.573853°		 ← 339.24 m → N 56.264710°
W 12.568359°		 →
↑
339.19 m
↓
↑
339.19 m
↓
N 56.261660°
W 12.573853°		 ← 339.27 m →
115 072 m²		 N 56.261660°
W 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465080261230469 y=0.310081481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465080261230469 × 216)
    floor (0.465080261230469 × 65536)
    floor (30479.5)     		tx = 30479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310081481933594 × 216)
    floor (0.310081481933594 × 65536)
    floor (20321.5)     		ty = 20321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30479 / 20321 ti = "16/30479/20321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30479/20321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30479 ÷ 216
    30479 ÷ 65536     		x = 0.465072631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20321 ÷ 216
    20321 ÷ 65536     		y = 0.310073852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465072631835938 × 2 - 1) × π
    -0.069854736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21945513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310073852539062 × 2 - 1) × π
    0.379852294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19334117914168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21945513} λ = -0.21945513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19334117914168))-π/2
    2×atan(3.29808230263101)-π/2
    2×1.27640038922096-π/2
    2.55280077844193-1.57079632675     		φ = 0.98200445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21945513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.573853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98200445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.264710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30479 KachelY 20321 -0.21945513 0.98200445 -12.573853 56.264710
    Oben rechts KachelX + 1 30480 KachelY 20321 -0.21935925 0.98200445 -12.568359 56.264710
    Unten links KachelX 30479 KachelY + 1 20322 -0.21945513 0.98195121 -12.573853 56.261660
    Unten rechts KachelX + 1 30480 KachelY + 1 20322 -0.21935925 0.98195121 -12.568359 56.261660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98200445-0.98195121) × R
    5.32400000000655e-05 × 6371000     		dl = 339.192040000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98200445-0.98195121) × R
    5.32400000000655e-05 × 6371000     		dr = 339.192040000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21945513--0.21935925) × cos(0.98200445) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.555356738418937 × 6371000     		do = 339.240485591155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21945513--0.21935925) × cos(0.98195121) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.555401012666707 × 6371000     		du = 339.267530580931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98200445)-sin(0.98195121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555356738418937-0.555401012666707)×R²
    abs(-0.21935925--0.21945513)×4.427424776976e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.427424776976e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.427424776976e-05×40589641000000     		ar = 115072.259108271m²